《2025年暑假衔接课堂七年级数学浙教版》

【例】根据杨辉三角请你直接写出$(a + b)^7 = $$a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$。
(1)从第二行到第五行,每一行数字组成的数(如第三行为121)都是上一行的数与11的积。
(2)根据杨辉三角中的数据,可算出$11^5 = $161051。
(3)由第9行可算出$11^8 = $214358881。

答案： 【解析】：
1. 首先明确杨辉三角的性质：
杨辉三角的特点是每行数字左右对称，由$1$开始逐渐变大，然后变小到$1$，第$n$行的数字个数为$n$个，且每个数等于它上方两数之和。
对于$(a + b)^n$的展开式，其系数就是杨辉三角的第$n + 1$行的数字。
2. 分析$(a + b)^7$的展开式：
根据杨辉三角第$8$行的数字为$1,7,21,35,35,21,7,1$，所以$(a + b)^7=a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$。
3. 分析从第二行到第五行数字组成的数与上一行数的关系：
第二行数字$1,1$组成$11$，第一行数字$1$，$11×1 = 11$；
第三行数字$1,2,1$组成$121$，第二行数字组成$11$，$11×11 = 121$；
第四行数字$1,3,3,1$组成$1331$，第三行数字组成$121$，$11×121 = 1331$；
第五行数字$1,4,6,4,1$组成$14641$，第四行数字组成$1331$，$11×1331 = 14641$。所以从第二行到第五行，每一行数字组成的数都是上一行的数与$11$的积。
4. 计算$11^5$：
因为$11^n$的值与杨辉三角第$n + 1$行数字组成的数有关（当数字都是一位数时），杨辉三角第$6$行数字为$1,5,10,10,5,1$，由于这里出现了两位数，$11^5=1×10^5 + 5×10^4+10×10^3 + 10×10^2+5×10^1 + 1×10^0=100000 + 50000+10000 + 1000+50 + 1 = 161051$。
5. 计算$11^8$：
因为$11^n$对应杨辉三角第$n + 1$行，所以$11^8$对应杨辉三角第$9$行。杨辉三角第$9$行数字为$1,8,28,56,70,56,28,8,1$，$11^8=1×10^8+8×10^7 + 28×10^6+56×10^5+70×10^4+56×10^3+28×10^2+8×10^1+1×10^0=214358881$。
【答案】：$a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$；$11$；$161051$；$9$；$214358881$

1. 根据“杨辉三角”请计算$(a + b)^8$的展开式中从左起第四项的系数为(B)
A.84
B.56
C.35
D.28

答案： B

2. 在$(x - y)^7$的展开式中,从左起系数绝对值最大的是第几项?(B)
A.3和4
B.4和5
C.4
D.5

答案： B

3. 在$(1 - x)^{13}$的展开式中,从左起系数最小的是第几项?(C)
A.6
B.7
C.8
D.9

答案： C