《2025年暑假衔接课堂七年级数学浙教版》

7. 已知$\angle BAC$,用直尺和圆规作$\angle BAC的平分线AD$,并说出该做法正确的理由.
1. 首先，用圆规以$A$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$AB$、$AC$于$E$、$F$两点。此时$AE = AF$（圆规半径相等）。
2. 然后，分别以$E$、$F$为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，两弧在$\angle BAC$内部交于点$D$。此时$ED = FD$（圆规半径相等）。
3. 最后，连接$AD$。
在$\triangle AED$和$\triangle AFD$中：$AE = AF$（已作），$ED = FD$（已作），$AD = AD$（公共边）。根据$SSS$（边 - 边 - 边）全等判定定理，可得$\triangle AED\cong\triangle AFD$。所以$\angle EAD=\angle FAD$（全等三角形对应角相等），即$AD$是$\angle BAC$的平分线。
做法正确的理由是：三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等。

答案： 1. 首先，用圆规以$A$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$AB$、$AC$于$E$、$F$两点。
此时$AE = AF$（圆规半径相等）。
2. 然后，分别以$E$、$F$为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，两弧在$\angle BAC$内部交于点$D$。
此时$ED = FD$（圆规半径相等）。
3. 最后，连接$AD$。
在$\triangle AED$和$\triangle AFD$中：
$AE = AF$（已作），$ED = FD$（已作），$AD = AD$（公共边）。
根据“$SSS$”（边 - 边 - 边）全等判定定理，可得$\triangle AED\cong\triangle AFD$。
所以$\angle EAD=\angle FAD$（全等三角形对应角相等），即$AD$是$\angle BAC$的平分线。
做法正确的理由是：三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等。

8. 如图,$\triangle ABC$是一个人字形水架,已知$AB = AC$,$AD是连接点A与BC中点D$的支架,求证：$\angle BAD = \angle CAD$,$AD\perp BD$. 请补全下列证明过程.
证明：$\because D是BC$的中点(已知),
$\therefore$BD = CD(线段中点的意义).
在$\triangle$ABD和$\triangle$ACD中,
$\because \begin{cases} AB = AC, \\ BD = CD, \\ AD = AD(公共边), \end{cases} $
$\therefore \triangle$ABD$≌\triangle$ACD(SSS).
$\therefore \angle BAD = \angle CAD$,$\angle ADB = \angle ADC$(全等三角形的对应角相等).
又$\because \angle ADB + \angle ADC = 180^{\circ}$,
$\therefore \angle ADB = \angle ADC = $$90^{\circ}$,即$AD\perp BC$(垂直的定义).

答案： 8. $ \because D $ 是 $ BC $ 的中点（已知），$ \therefore BD = CD $（线段中点的意义）。在 $ \triangle ABD $ 和 $ \triangle ACD $ 中，
$ \because \left\{ \begin{array} { l } { AB = AC, } \\ { BD = CD, } \\ { AD = AD ( \text { 公共边 } ), } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ABD \cong \triangle ACD ( \text { SSS } ) $。$ \therefore \angle BAD = \angle CAD $，$ \angle ADB = \angle ADC $（全等三角形的对应角相等）。又 $ \because \angle ADB + \angle ADC = 180 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle ADB = \angle ADC = 90 ^ { \circ } $，即 $ AD \perp BC $（垂直的定义）。

9. 如图,已知点$B$,$E$,$C$,$F$在同一条直线上,$AB = DE$,$AC = DF$,$BE = CF$. 试判断$AC与DF$是否平行,并说明理由.
$AC// DF$。理由如下：$\because BE=CF$，$\therefore BE+EC=CF+EC$，即$BC=EF$。在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\because \left\{\begin{array}{l} AB=DE,\\ AC=DF,\\ BC=EF,\end{array}\right.$$\therefore \triangle ABC\cong \triangle DEF(\text{SSS})$，$\therefore \angle ACB=\angle F$（全等三角形的对应角相等），$\therefore AC// DF$（同位角相等，两直线平行）。

答案： 9. $ AC // DF $。理由如下：$ \because BE = CF $，$ \therefore BE + EC = CF + EC $，即 $ BC = EF $。在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEF $ 中，
$ \because \left\{ \begin{array} { l } { AB = DE, } \\ { AC = DF, } \\ { BC = EF, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF ( \text { SSS } ) $，
$ \therefore \angle ACB = \angle F $（全等三角形的对应角相等），
$ \therefore AC // DF $（同位角相等，两直线平行）。

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD = DE$,$AB = EB$,$\angle A = 80^{\circ}$,求$\angle CED$=100°.

答案： 10. 在 $ \triangle ABD $ 与 $ \triangle EBD $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { AD = DE, } \\ { AB = BE, } \\ { BD = BD, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle ABD \cong \triangle EBD $，$ \therefore \angle DEB = \angle A = 80 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle CED = 180 ^ { \circ } - 80 ^ { \circ } = 100 ^ { \circ } $。