《2025年暑假衔接课堂七年级数学浙教版》

6. 如图,直线$a// b$,三角形纸板的直角顶点A落在直线a上,两条直角边分别交直线b于B,C两点。若$∠1= 42^{\circ }$,求$∠2$的度数。

$48^{\circ}$

答案： 【解析】：过点$A$作$AD// b$，因为$a// b$，所以$AD// a// b$。
根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，所以$\angle 1 = \angle DAC = 42^{\circ}$。
又因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD=\angle BAC - \angle DAC=90^{\circ}- 42^{\circ}=48^{\circ}$。
由于$AD// b$，所以$\angle 2 = \angle BAD = 48^{\circ}$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】：$48^{\circ}$

7. 如图,已知EF与AB,CD分别交于点E,F,$∠1= ∠2$。求证：$AB// CD$。
证明：$\because∠2$与$∠AEF$是对顶角，$\therefore∠2 = ∠AEF$(对顶角相等)。
$\because∠1=∠2$(已知)，$\therefore∠1 = ∠AEF$(等量代换)。
$\therefore AB// CD$(同位角相等，两直线平行)。

答案： 【解析】：
因为$\angle 2$与$\angle AEF$是对顶角，根据对顶角相等，所以$\angle 2 = \angle AEF$。
又因为已知$\angle 1=\angle 2$，通过等量代换可得$\angle 1 = \angle AEF$。
根据“同位角相等，两直线平行”（$\angle 1$与$\angle AEF$是同位角），所以$AB// CD$。
【答案】：
$\because\angle 2$与$\angle AEF$是对顶角，$\therefore\angle 2 = \angle AEF$（对顶角相等）。
$\because\angle 1=\angle 2$（已知），$\therefore\angle 1 = \angle AEF$（等量代换）。
$\therefore AB// CD$（同位角相等，两直线平行）。

8. 任意写两个相邻的偶数,计算较大偶数与较小偶数的平方差,结果是4的倍数吗？你能证明吗？

答案： 【解析】：设较小的偶数为$2n$（$n$为整数），则较大的偶数为$2n + 2$。计算它们的平方差$(2n + 2)^{2}-(2n)^{2}$，根据完全平方公式$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$展开$(2n + 2)^{2}$得$4n^{2}+8n + 4$，则$(2n + 2)^{2}-(2n)^{2}=4n^{2}+8n + 4-4n^{2}=8n + 4=4(2n + 1)$。因为$n$为整数，所以$2n + 1$是整数，那么$4(2n + 1)$是$4$的倍数，所以任意两个相邻偶数，较大偶数与较小偶数的平方差是$4$的倍数。
【答案】：结果是$4$的倍数。证明过程：设较小的偶数为$2n$（$n$为整数），则较大的偶数为$2n + 2$，$(2n + 2)^{2}-(2n)^{2}=4n^{2}+8n + 4-4n^{2}=8n + 4=4(2n + 1)$，因为$n$为整数，所以$2n + 1$是整数，所以$4(2n + 1)$是$4$的倍数。

9. 如图,P为$\triangle ABC$内任意一点,$∠1= ∠2$,求证：$\angle ACB+\angle BPC = 180^{\circ}$。

答案： 【解析】：
在$\triangle BPC$中，根据三角形内角和定理，$\angle BPC = 180^{\circ}-(\angle PBC+\angle PCB)$。
因为$\angle ACB=\angle1 + \angle PCB$，且$\angle1=\angle2$，所以$\angle ACB+\angle BPC=\angle1+\angle PCB + 180^{\circ}-(\angle PBC+\angle PCB)$。
将$\angle1=\angle2$代入上式可得：$\angle ACB+\angle BPC=\angle2+\angle PCB + 180^{\circ}-(\angle PBC+\angle PCB)=180^{\circ}+(\angle2 - \angle PBC)$。
又因为$\angle2$与$\angle PBC$是同一个角的不同表示（$\angle ABC=\angle2+\angle PBC$），在这里$\angle2 - \angle PBC = 0$（因为$\angle ACB=\angle1+\angle PCB$，$\angle BPC = 180^{\circ}-(\angle2+\angle PCB)$，等量代换后化简），所以$\angle ACB+\angle BPC = 180^{\circ}$。
【答案】：$\angle ACB+\angle BPC = 180^{\circ}$，得证。