《2025年精彩三年就练这一本九年级数学全一册浙教版》

19. (8分)如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,AC为弦,BC为⊙O的直径,若∠P= 60°,PB= 2 cm.
(1)求证：△PAB是等边三角形.
(2)求AC的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵PA,PB分别与⊙O相切于点A,B，
∴PA=PB.又∠P=60°，
∴△PAB是等边三角形.
(2)
∵△PAB是等边三角形，
∴PB=AB=2 cm,∠PBA=60°.
∵BC是⊙O的直径,PB是⊙O的切线，
∴∠CAB=90°,∠PBC=90°，
∴∠ABC=30°，
∴tan∠ABC=AC/AB=√3/3，
∴AC=2×√3/3=2√3/3(cm).

20. (8分)如图,△ABC内接于⊙O,AB= AC,AD是⊙O的直径,交BC于点E,过点D作DF//BC,交AB的延长线于点F,连结BD.
(1)求证：DF是⊙O的切线.
(2)若AC= 4,AF= 6,求BD的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
即∠ABC+∠CBD=90°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
∵∠ADB=∠C,
∴∠ABC=∠ADB.
∵BC//DF,
∴∠CBD=∠FDB，
∴∠ADB+∠FDB=90°，
即∠ADF=90°,
∴AD⊥DF.
又
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线.
(2)
∵AB=AC=4,AF=6,
∴BF=AF - AB=2.
∵∠ADF=90°,∠ABD=90°,
∴∠BAD=∠BDF，
∴△BDF∽△BAD,
∴BD²=BF×AB=2×4=8，
∴BD=2√2.

21. (8分)如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AB= c,AC= b,BC= a,⊙O是△ABC的内切圆,求⊙O的半径r(用含a,b,c的代数式表示).

(1)小旭同学用面积法,可以构建关于r的方程______,解得r= ______.(结果用含a,b,c的代数式表示)
小辰同学由切线长定理,可以构建关于r的方程______,解得r= ______.(结果用含a,b,c的代数式表示)
(2)两名同学得到的答案相等吗？若相等,请给出证明.

答案：
解:
(1)设D,E,F分别为切点.
方法一(面积法):如图,连结OA,OB,OC,OD,OE,OF,则OF⊥AB,OD⊥BC,OE⊥AC.
∵S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴1/2ab=1/2cr+1/2br+1/2ar，
∴r=ab/(a+b+c).
方法二(利用切线长定理):
∵∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°，
∴四边形ODCE是矩形.
∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形.
由切线长定理可知,BD=BF,CD=CE=r,AE=AF，
a=BD+CD=BF+r，
b=AE+CE=AF+r，
c=AF+BF，
a+b - c=2r，
∴r=1/2(a+b - c).
故答案为1/2ab=1/2cr+1/2br+1/2ar;r=ab/(a+b+c);a+b - c=2r;r=1/2(a+b - c)
(2)相等.
理由如下：
∵a²+b²=c²，
∴(a+b+c)(a+b - c)=(a+b)² - c²=a²+2ab+b² - c²=2ab，
∴1/2(a+b - c)=ab/(a+b+c).