《2025年精彩三年就练这一本九年级数学全一册浙教版》

19. (8分)如图1,这是一座拱桥,用$\widehat{AB}$表示桥拱,如图2。
(1)若$\widehat{AB}$所在圆的圆心为O,EF是弦CD的垂直平分线,请你利用尺规作图,找出圆心O。(不写作法,但要保留作图痕迹)
(2)若桥拱的跨度(弦AB的长)为16 m,拱高($\widehat{AB}$的中点到弦AB的距离)为4 m,求桥拱的半径R。

答案：
解:
(1)作弦AB的垂直平分线，交$\overset{\frown}{AB}$于点G，交AB于点H，交CD的垂直平分线EF于点O，如图1，则点O即为所求作的圆心.
(2)连结OA，如图2.
由
(1)中的作图可知，△AOH为直角三角形，H是AB的中点，GH=4，
∴AH= $\frac{1}{2}AB=8$.
∵GH=4，
∴OH=R - 4.
在Rt△AOH中，由勾股定理得，$OA^2=AH^2+OH^2$，
∴$R^2=8^2+(R - 4)^2$，解得R = 10，
∴桥拱的半径R为10 m.

20. (8分)如图,AB是半圆O的直径,C为半圆O上一点,连结AC,BC,过O作OD⊥BC于点D,延长OD交半圆O于点E,连结AE。
(1)求证：OE//AC。
(2)若AC= 1,AB= 4,求AE的长度。

答案：
解:
(1)证明:
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC.
∵OD⊥BC，
∴AC//OE.
(2)如图，连结BE.

∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，∠AEB=90°，
∴在Rt△ABC中，BC= $\sqrt{AB^2-AC^2}$= $\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$.
∵OD⊥BC，OE是半径，
∴CD=BD= $\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD= $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$，
∴DE=OE - OD=2 - $\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
∴BE= $\sqrt{BD^2+DE^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{15}}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{6}$，
∴AE= $\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{10}$.

21. (8分)如图,正八边形ABCDEFGH内接于⊙O,连结AC,BD,相交于点P,若⊙O的半径为1。
(1)求AC的长。
(2)求∠APD的度数。

答案：
解:
(1)如图，连结OA，OB，设OB与AC交于点Q.

由题意可知，QA=QC，OB⊥AC.
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOB= $\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$.
∵OA=1，
∴QA=OQ= $\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AC=2QA= $\sqrt{2}$.
(2)
∵$\overset{\frown}{AFD}$所对的圆心角为5∠AOB=225°，
∴$\overset{\frown}{AFD}$所对的圆周角为∠ABD= $\frac{1}{2}×225^\circ=112.5^\circ$.
∵∠BAC= $\frac{1}{2}×45^\circ=22.5^\circ$，
∴∠APD=∠ABD+∠BAC=135°.