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23. (10分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,AD为BC$边上的中线,点$E为AD$的中点,过点$A作AF// BC$,交$BE的延长线于点F$,连结$CF$.
(1)求证:四边形$ADCF$为矩形.
(2)若$BC= 6,\sin\angle BAD= \frac{3}{5}$,求$EF$的长.
(1)求证:四边形$ADCF$为矩形.
(2)若$BC= 6,\sin\angle BAD= \frac{3}{5}$,求$EF$的长.
答案：
解:
(1)证明:
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD.
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED.
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE.
在△AFE和△DBE中，
∠AFE=∠DBE，
∠FAE=∠BDE，
AE=ED，
∴△AFE≌△DBE(AAS)，
∴AF=BD，
∴AF=DC.
又
∵AF//BC，
∴四边形ADCF为平行四边形.
∵AB=AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF为矩形.
(2)
∵BC=6，AD为BC边上的中线，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=3.
∵在Rt△ABD中，sin∠BAD=$\frac{3}{5}$，
∴AB=$\frac{BD}{sin∠BAD}$=5，
∴AD=$\sqrt{AB² - BD²}$=4.
又
∵点E为AD的中点，
∴ED=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴在Rt△EBD中，BE=$\sqrt{ED² + BD²}$=$\sqrt{13}$，
∴EF=BE=$\sqrt{13}$.
(1)证明:
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD.
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED.
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE.
在△AFE和△DBE中，
∠AFE=∠DBE，
∠FAE=∠BDE，
AE=ED，
∴△AFE≌△DBE(AAS)，
∴AF=BD，
∴AF=DC.
又
∵AF//BC，
∴四边形ADCF为平行四边形.
∵AB=AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF为矩形.
(2)
∵BC=6，AD为BC边上的中线，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=3.
∵在Rt△ABD中，sin∠BAD=$\frac{3}{5}$，
∴AB=$\frac{BD}{sin∠BAD}$=5，
∴AD=$\sqrt{AB² - BD²}$=4.
又
∵点E为AD的中点，
∴ED=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴在Rt△EBD中，BE=$\sqrt{ED² + BD²}$=$\sqrt{13}$，
∴EF=BE=$\sqrt{13}$.
24. (12分)某兴趣小组使用一把皮尺(测量长度略小于$AB$)和一台测角仪,测量一个扁平状水塘的最大宽度$AB$.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度),测角仪的功能是测量角的大小,即在任一点$O$处,对其视线可及的$P,Q$两点,可测得$\angle POQ$的大小.该兴趣小组甲、乙两名同学设计了不同的测量方案.
甲同学的测量方案如图1,具体操作如下:①在水塘外选点$C$,测得$AC= 32\ m,BC= 40\ m$;②分别在$AC,BC上取两点M,N$,测得$CM= 8\ m,CN= 10\ m$;③测得$MN= 15\ m$.
乙同学的测量方案如图2,具体操作如下:①在水塘外选点$C$,测得$AC= 32\ m,BC= 40\ m$;②分别在$AC,BC上取两点E,F$,测得$CE= 8\ m,CF= 6.4\ m$;③测得$EF= 12\ m$.
(1)分别判断甲、乙两名同学的测量方案是否可行,并说明理由.
(2)请你同时利用皮尺和测角仪,通过测量长度、角度等几何量,利用解直角三角形的知识求水塘的最大宽度$AB$,写出你的测量方案及求解过程.(要求:测量得到的长度用字母$a,b,c…$表示,角度用…$\alpha,\beta,\gamma$表示,测量方案的示意图在备用图中表示出来)
甲同学的测量方案如图1,具体操作如下:①在水塘外选点$C$,测得$AC= 32\ m,BC= 40\ m$;②分别在$AC,BC上取两点M,N$,测得$CM= 8\ m,CN= 10\ m$;③测得$MN= 15\ m$.
乙同学的测量方案如图2,具体操作如下:①在水塘外选点$C$,测得$AC= 32\ m,BC= 40\ m$;②分别在$AC,BC上取两点E,F$,测得$CE= 8\ m,CF= 6.4\ m$;③测得$EF= 12\ m$.
(1)分别判断甲、乙两名同学的测量方案是否可行,并说明理由.
(2)请你同时利用皮尺和测角仪,通过测量长度、角度等几何量,利用解直角三角形的知识求水塘的最大宽度$AB$,写出你的测量方案及求解过程.(要求:测量得到的长度用字母$a,b,c…$表示,角度用…$\alpha,\beta,\gamma$表示,测量方案的示意图在备用图中表示出来)
答案：
解:
(1)甲、乙两名同学的测量方案均可行.
理由:由甲同学的测量知，AC=32m，BC=40m，CM=8m，CN=10m，
∴$\frac{CM}{CA}$=$\frac{8}{32}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{CN}{CB}$=$\frac{10}{40}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{CM}{CA}$=$\frac{CN}{CB}$.
又
∵∠C=∠C，
∴△CMN∽△CAB，
∴$\frac{MN}{AB}$=$\frac{1}{4}$.
又
∵MN=15m，
∴AB=60m.
故甲同学的测量方案可行.
由乙同学的测量知，AC=32m，BC=40m，CE=8m，CF=6.4m，
∴$\frac{CF}{CA}$=$\frac{6.4}{32}$=$\frac{1}{5}$，$\frac{CE}{CB}$=$\frac{8}{40}$=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{CF}{CA}$=$\frac{CE}{CB}$.
又
∵∠C=∠C，
∴△CFE∽△CAB，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{5}$.
又
∵EF=12m，
∴AB=60m.
故乙同学的测量方案可行.
(2)测量过程:①在水塘外选点C，如图，用测角仪在点B处测得∠ABC=α，在点A处测得∠BAC=β；
②用皮尺测得BC=am.
求解过程:由测量知，在△ABC中，∠ABC=α，∠BAC=β，BC=am.
过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△CBD中，cos∠CBD=BD/BC，即cosα=BD/a，
∴BD=a cosα.同理，CD=a sinα.
在Rt△ACD中，tan∠CAD=CD/AD，即tanβ=$\frac{a sinα}{AD}$，
∴AD=$\frac{a sinα}{tanβ}$.
∴AB=BD + AD=a cosα+$\frac{a sinα}{tanβ}$.
故水塘的最大宽度为(a cosα+$\frac{a sinα}{tanβ}$)m.
解:
(1)甲、乙两名同学的测量方案均可行.
理由:由甲同学的测量知，AC=32m，BC=40m，CM=8m，CN=10m，
∴$\frac{CM}{CA}$=$\frac{8}{32}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{CN}{CB}$=$\frac{10}{40}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{CM}{CA}$=$\frac{CN}{CB}$.
又
∵∠C=∠C，
∴△CMN∽△CAB，
∴$\frac{MN}{AB}$=$\frac{1}{4}$.
又
∵MN=15m，
∴AB=60m.
故甲同学的测量方案可行.
由乙同学的测量知，AC=32m，BC=40m，CE=8m，CF=6.4m，
∴$\frac{CF}{CA}$=$\frac{6.4}{32}$=$\frac{1}{5}$，$\frac{CE}{CB}$=$\frac{8}{40}$=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{CF}{CA}$=$\frac{CE}{CB}$.
又
∵∠C=∠C，
∴△CFE∽△CAB，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{5}$.
又
∵EF=12m，
∴AB=60m.
故乙同学的测量方案可行.
(2)测量过程:①在水塘外选点C，如图，用测角仪在点B处测得∠ABC=α，在点A处测得∠BAC=β；
②用皮尺测得BC=am.
求解过程:由测量知，在△ABC中，∠ABC=α，∠BAC=β，BC=am.
过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△CBD中，cos∠CBD=BD/BC，即cosα=BD/a，
∴BD=a cosα.同理，CD=a sinα.
在Rt△ACD中，tan∠CAD=CD/AD，即tanβ=$\frac{a sinα}{AD}$，
∴AD=$\frac{a sinα}{tanβ}$.
∴AB=BD + AD=a cosα+$\frac{a sinα}{tanβ}$.
故水塘的最大宽度为(a cosα+$\frac{a sinα}{tanβ}$)m.
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