《2025年精彩三年就练这一本九年级数学全一册浙教版》

19. (8分)某天小明和小亮去某影视基地游玩,当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭
顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图).已知小明的眼睛离地面1.6米,凉亭顶端离地面1.9米,
小明到凉亭的距离为2米,凉亭离城楼底部的距离为38米,小亮身高为1.7米.请根据以上数据求出城
楼的高度.

答案：
解:如图，过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N. 由题意得，AN=2米，CN=1.9 - 1.6 = 0.3(米)，MN=38米.
∵CN//EM，
∴△ACN∽△AEM，
∴$\frac{CN}{EM}=\frac{AN}{AM}$，
∴$\frac{0.3}{EM}=\frac{2}{40}$，
∴EM=6(米).
∵AB=MF=1.6米，
∴城楼的高度为6 + 1.6 - 1.7 = 5.9(米).

20. (8分)如图,在边长为1的5×5的正方形网格上有两个三角形,它们的顶点都在格点上.

(1)△ABC与△DEF是否相似？请说明理由.
(2)还能在网格上画出与△ABC相似的三角形吗？还能画出几种大小不同的三角形？试着在备用图上
画出来.(三个顶点都在格点上)

答案：
解:
(1)△ABC∽△DEF.理由如下:
∵$DE=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$，$DF=\sqrt{3^2 + 1^2}=\sqrt{10}$，EF=5，$AB=\sqrt{2}$，AC=2，$CB=\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}$，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{DF}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{EF}{CB}=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{CB}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴△ABC∽△DEF.
(2)还能画出三种大小不同的三角形，如图所示.

21. (8分)如图,四边形ABCD中,∠BAD= ∠B= 90°,∠C= 75°,AD= 2AB.

(1)尺规作图:在BC上求作一点E,使得∠AEC= 150°.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连结DE.求证:△ADE∽△DCE.

答案：
解:
(1)如图1，点E即为所求的点.
∵AD=AE，AD=2AB，
∴AE=2AB.
∵∠B=90°，
∴∠AEB=30°，
∴∠AEC=150°.
(2)证明:连结DE，如图2.
∵∠BAD=∠B=90°，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB=30°.由作图得，AD=AE，
∴$∠ADE=∠AED=\frac{1}{2}(180° - ∠DAE)=75°$.
∵AD//BC，
∴∠DEC=∠ADE=75°.又
∵∠C=75°，
∴∠ADE=∠DCE，∠AED=∠DEC，
∴△ADE∽△DCE.

22. (10分)如图所示,已知△ABC的三边分别为a,b,c.
(1)如果∠A= 2∠B,求证$:a^2-b^2= bc.$
(2)如果$a^2-b^2= bc,$求证:∠A= 2∠B.

答案：
证明:
(1)如图1，延长CA到点E，使AE=AB=c，连结BE，则∠E=∠ABE，
∴∠BAC=∠E + ∠ABE=2∠E.
∵∠BAC=2∠ABC，
∴2∠ABC=2∠E，
∴∠ABC=∠E.
∵∠C=∠C，
∴△CAB∽△CBE，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{EC}$.
∵AC=b，BC=a，
∴$\frac{b}{a}=\frac{a}{b + c}$，
∴$a^2 - b^2=bc$.
(2)如图2，延长CA到点F，使AF=AB=c，连结BF，则∠F=∠ABF.
∵$a^2 - b^2=bc$，
∴$a^2=b^2 + bc=b(b + c)$，
∴$\frac{b}{a}=\frac{a}{b + c}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{FC}$.
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BFC，
∴∠ABC=∠F，
∴∠BAC=∠ABF + ∠F=2∠ABC.