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22. (10分)完成下列各题:
(1)问题背景:如图1,已知$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$,求证:$\triangle ABD\backsim\triangle ACE$.
(2)尝试应用:如图2,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$\angle BAC= \angle DAE= 90^\circ$,$\angle ABC= \angle ADE= 60^\circ$,$AC与DE相交于点F$,点$D在BC$边上.$\frac{DF}{CF}= \frac{2\sqrt{3}}{3}$,求$\frac{AD}{BD}$的值.
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(1)问题背景:如图1,已知$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$,求证:$\triangle ABD\backsim\triangle ACE$.
(2)尝试应用:如图2,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$\angle BAC= \angle DAE= 90^\circ$,$\angle ABC= \angle ADE= 60^\circ$,$AC与DE相交于点F$,点$D在BC$边上.$\frac{DF}{CF}= \frac{2\sqrt{3}}{3}$,求$\frac{AD}{BD}$的值.
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答案：
解:
(1)证明:
∵△ABC∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AE}$，
∴△ABD∽△ACE.
(2)如图，连结EC.
∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=60°，
∴△ABC∽△ADE，AE=$\sqrt{3}$AD.
由
(1)同理可得△ABD∽△ACE，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EC}{BD}$=$\sqrt{3}$，
∠ABC=∠ACE=60°，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AD}{BD}$.
∵∠AFD=∠EFC，∠ADF=∠ECF=60°，
∴△ADF∽△ECF，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{AD}{CE}$.
∵$\frac{DF}{CF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{AD}{CE}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CE，
∴AE=$\sqrt{3}$AD=2CE，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AE}{EC}$=2.
解:
(1)证明:
∵△ABC∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AE}$，
∴△ABD∽△ACE.
(2)如图，连结EC.
∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=60°，
∴△ABC∽△ADE，AE=$\sqrt{3}$AD.
由
(1)同理可得△ABD∽△ACE，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EC}{BD}$=$\sqrt{3}$，
∠ABC=∠ACE=60°，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AD}{BD}$.
∵∠AFD=∠EFC，∠ADF=∠ECF=60°，
∴△ADF∽△ECF，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{AD}{CE}$.
∵$\frac{DF}{CF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{AD}{CE}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CE，
∴AE=$\sqrt{3}$AD=2CE，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AE}{EC}$=2.
23. (10分)在平面直角坐标系中,点$(4,2)在抛物线y= ax^2+bx+2(a＜0)$上.
(1)直接写出抛物线的对称轴.
(2)抛物线上两点$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$,且$t\leq x_1＜t+2$,$4-t\leq x_2\leq6-t$.
①当$t= 1$时,直接写出$y_1,y_2$的大小关系.
②若对于$x_1,x_2$,都有$y_1\neq y_2$,直接写出$t$的取值范围.
(1)直接写出抛物线的对称轴.
(2)抛物线上两点$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$,且$t\leq x_1＜t+2$,$4-t\leq x_2\leq6-t$.
①当$t= 1$时,直接写出$y_1,y_2$的大小关系.
②若对于$x_1,x_2$,都有$y_1\neq y_2$,直接写出$t$的取值范围.
答案：
解:
(1)将x=0代入y=ax²+bx+2，得y=2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，2).
又
∵抛物线经过点(4，2)，
∴抛物线的对称轴为直线x=2.
(2)①
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
当t=1时，1≤x₁＜3，3＜x₂≤5，
∴|x₁-2|≤1，1＜|x₂-2|≤3，
∴点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，
∴y₁＞y₂.
②设点P(x₁，y₁)关于直线x=2的对称点为P'(x₀，y₁)，则x₀=4-x₁.
∵t≤x₁＜t+2，
∴2-t＜x₀≤4-t.
∵4-t＜x₂≤6-t，
∴x₀≠x₂.
当t+2≤4-t或6-t＜t时，x₁≠x₂，
解得t≤1或t＞3.
(1)将x=0代入y=ax²+bx+2，得y=2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，2).
又
∵抛物线经过点(4，2)，
∴抛物线的对称轴为直线x=2.
(2)①
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
当t=1时，1≤x₁＜3，3＜x₂≤5，
∴|x₁-2|≤1，1＜|x₂-2|≤3，
∴点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，
∴y₁＞y₂.
②设点P(x₁，y₁)关于直线x=2的对称点为P'(x₀，y₁)，则x₀=4-x₁.
∵t≤x₁＜t+2，
∴2-t＜x₀≤4-t.
∵4-t＜x₂≤6-t，
∴x₀≠x₂.
当t+2≤4-t或6-t＜t时，x₁≠x₂，
解得t≤1或t＞3.
24. (12分)如图,锐角三角形$ABC内接于\odot O$,$\angle BAC的平分线AG交\odot O于点G$,交$BC边于点F$,连结$BG$.
(1)求证:$\triangle ABG\backsim\triangle AFC$.
(2)已知$AB= a,AC= AF= b$,求线段$FG$的长.(用含$a,b$的代数式表示)
(3)已知点$E在线段AF$上(不与点$A,F$重合),点$D在线段AE$上(不与点$A,E$重合),$\angle ABD= \angle CBE$,求证:$BG^2= GE\cdot GD$.
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(1)求证:$\triangle ABG\backsim\triangle AFC$.
(2)已知$AB= a,AC= AF= b$,求线段$FG$的长.(用含$a,b$的代数式表示)
(3)已知点$E在线段AF$上(不与点$A,F$重合),点$D在线段AE$上(不与点$A,E$重合),$\angle ABD= \angle CBE$,求证:$BG^2= GE\cdot GD$.
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答案：
解:
(1)证明:
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG=∠FAC.
又
∵∠G=∠C，
∴△ABG∽△AFC；
(2)由
(1)知，△ABG∽△AFC，
∴$\frac{AB}{AF}$=$\frac{AG}{AC}$.
∵AC=AF=b，
∴AB=AG=a，
∴FG=AG-AF=a-b.
(3)证明:
∵∠CAG=∠CBG，∠BAG=∠CAG，
∴∠BAG=∠CBG.
∵∠ABD=∠CBE，
∴∠BDG=∠BAG+∠ABD=∠CBG+∠CBE=∠EBG.
又
∵∠DGB=∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴$\frac{GD}{BG}$=$\frac{BG}{GE}$，
∴BG²=GE·GD.
(1)证明:
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG=∠FAC.
又
∵∠G=∠C，
∴△ABG∽△AFC；
(2)由
(1)知，△ABG∽△AFC，
∴$\frac{AB}{AF}$=$\frac{AG}{AC}$.
∵AC=AF=b，
∴AB=AG=a，
∴FG=AG-AF=a-b.
(3)证明:
∵∠CAG=∠CBG，∠BAG=∠CAG，
∴∠BAG=∠CBG.
∵∠ABD=∠CBE，
∴∠BDG=∠BAG+∠ABD=∠CBG+∠CBE=∠EBG.
又
∵∠DGB=∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴$\frac{GD}{BG}$=$\frac{BG}{GE}$，
∴BG²=GE·GD.
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