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20. (8分)已知在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ},AB= 13,BC= 5$.
(1)求$\angle A,\angle B$的正弦、余弦值.
(2)求$\angle A,\angle B$的正切值,你发现了什么?
(1)求$\angle A,\angle B$的正弦、余弦值.
(2)求$\angle A,\angle B$的正切值,你发现了什么?
答案：
解:
(1)在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC=$\sqrt{AB² - BC²}$=12.
∴sinA=$\frac{BC}{BA}$=$\frac{5}{13}$，cosA=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{12}{13}$，sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{12}{13}$，cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{5}{13}$.
(2)在Rt△ABC中，
tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{5}{12}$，tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{12}{5}$.
∵$\frac{5}{12}$×$\frac{12}{5}$=1，
∴发现互余的两个角的正切值的积等于1.
(1)在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC=$\sqrt{AB² - BC²}$=12.
∴sinA=$\frac{BC}{BA}$=$\frac{5}{13}$，cosA=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{12}{13}$，sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{12}{13}$，cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{5}{13}$.
(2)在Rt△ABC中，
tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{5}{12}$，tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{12}{5}$.
∵$\frac{5}{12}$×$\frac{12}{5}$=1，
∴发现互余的两个角的正切值的积等于1.
21. (8分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C= 150^{\circ},AC= 4,\tan B= \frac{1}{8}$.
(1)求$BC$的长.
(2)利用此图形求$\tan 15^{\circ}$的值(精确到0.1,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.4$,$\sqrt{3}\approx1.7$,$\sqrt{5}\approx2.2$).
(1)求$BC$的长.
(2)利用此图形求$\tan 15^{\circ}$的值(精确到0.1,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.4$,$\sqrt{3}\approx1.7$,$\sqrt{5}\approx2.2$).
答案：
解:
(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1.
在Rt△ADC中，
∵∠ACB=150°，AC=4，
∴∠ACD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=2，
CD=ACcos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$.
在Rt△ABD中，tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2}{BD}$=$\frac{1}{8}$，
∴BD=16，
∴BC=BD - CD=16 - 2$\sqrt{3}$.
(2)在BC边上取一点M，使得CM=AC，连结AM，如图2.
∵∠ACB=150°，
∴∠AMC=∠MAC=15°，
则tan15°=tan∠AMD=$\frac{AD}{MD}$=$\frac{2}{4 + 2\sqrt{3}}$=2 - $\sqrt{3}$≈0.3.
解:
(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1.
在Rt△ADC中，
∵∠ACB=150°，AC=4，
∴∠ACD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=2，
CD=ACcos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$.
在Rt△ABD中，tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2}{BD}$=$\frac{1}{8}$，
∴BD=16，
∴BC=BD - CD=16 - 2$\sqrt{3}$.
(2)在BC边上取一点M，使得CM=AC，连结AM，如图2.
∵∠ACB=150°，
∴∠AMC=∠MAC=15°，
则tan15°=tan∠AMD=$\frac{AD}{MD}$=$\frac{2}{4 + 2\sqrt{3}}$=2 - $\sqrt{3}$≈0.3.
22. (10分)综合与实践：
【问题情境】某地龙象塔始建于明代万历年间,塔呈八角形,九级重檐结构,是地标建筑,如图1.在一次数学综合实践活动中,李老师布置了一个任务:请根据所学知识设计一种方案,测量龙象塔的高.
(1)【实践探究】某小组通过思考,绘制了如图2所示的测量示意图,即在水平地面上的点$C处测得塔顶端A的仰角为\alpha$,点$C到点B的距离BC= a$米,即可得出塔高$AB= $______米.(用所给数据$a和\alpha$表示)
(2)【问题解决】在实践中发现:由于无法直接到达塔底端的$B$点,因此$BC$无法直接测量.该小组对测量方案进行了如下修改:如图3,从水平地面的$C点向前走a米到达点D$处后,在$D处测得塔顶端A的仰角为\beta$,即可通过计算求得塔高$AB$.若测得$\alpha=45^{\circ},\beta=60^{\circ},a= 22$米,请你利用所测数据计算塔高$AB$.(计算结果精确到1米,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732$)
【问题情境】某地龙象塔始建于明代万历年间,塔呈八角形,九级重檐结构,是地标建筑,如图1.在一次数学综合实践活动中,李老师布置了一个任务:请根据所学知识设计一种方案,测量龙象塔的高.
(1)【实践探究】某小组通过思考,绘制了如图2所示的测量示意图,即在水平地面上的点$C处测得塔顶端A的仰角为\alpha$,点$C到点B的距离BC= a$米,即可得出塔高$AB= $______米.(用所给数据$a和\alpha$表示)
(2)【问题解决】在实践中发现:由于无法直接到达塔底端的$B$点,因此$BC$无法直接测量.该小组对测量方案进行了如下修改:如图3,从水平地面的$C点向前走a米到达点D$处后,在$D处测得塔顶端A的仰角为\beta$,即可通过计算求得塔高$AB$.若测得$\alpha=45^{\circ},\beta=60^{\circ},a= 22$米,请你利用所测数据计算塔高$AB$.(计算结果精确到1米,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732$)
答案：
解:
(1)
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=α，
∴AB=a·tanα，故答案为a·tanα.
(2)设塔高AB=x米.
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴tanα=tan45°=$\frac{AB}{BC}$=1，
∴AB=BC=x米，
∴BD=BC - CD=(x - 22)米.
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，
∴tanβ=tan60°=$\frac{AB}{BD}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{x}{x - 22}$=$\sqrt{3}$，
解得x≈52，即AB≈52米.
答:塔高约为52米.
(1)
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=α，
∴AB=a·tanα，故答案为a·tanα.
(2)设塔高AB=x米.
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴tanα=tan45°=$\frac{AB}{BC}$=1，
∴AB=BC=x米，
∴BD=BC - CD=(x - 22)米.
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，
∴tanβ=tan60°=$\frac{AB}{BD}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{x}{x - 22}$=$\sqrt{3}$，
解得x≈52，即AB≈52米.
答:塔高约为52米.
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