《2025年精彩三年就练这一本九年级数学全一册浙教版》

18. (8分)某商场进行促销活动,设计了如下两种摇奖方式：
方式一:有一枚均匀的正二十面体形状的骰子,其中的1个面标有“1”,2个面标有“2”,3个面标有“3”,4个面标有“4”,5个面标有“5”,其余的面标有“6”.将这个骰子掷出后,“6”朝上则获奖；
方式二:一个均匀的转盘被等分成12份,分别标有1至12这12个数字.转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字为6的倍数则获奖.
(1)若采用方式一,骰子掷出后,“4”朝上的概率为______.
(2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由.

答案：
(1)$\frac{1}{5}$;
(2)选择摇奖方式一.理由如下:方式一:标有数字“6"的有20−1−2−3−4−5=5(面),选择摇奖方式一获奖的概率为$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$;方式二:数字为6的倍数的数有6，12，共2个，选择摇奖方式二获奖的概率为$\frac{2}{12}$=$\frac{1}{6}$.因为$\frac{1}{4}$＞$\frac{1}{6}$，所以方式一获奖机会更大.

19. (8分)已知二次函数的图象与$x轴交点的横坐标分别是x_1= -3,x_2= 1$,且与$y轴的交点为(0,-3)$.
(1)求这个二次函数表达式和顶点坐标.
(2)把二次函数的图象沿坐标轴方向如何平移使得该图象的顶点在原点.

答案：
(1)设二次函数表达式为y=a(x+3)(x−1),把(0,−3)代入得a×3×(−1)=−3,解得a=1,所以二次函数的表达式为y=(x+3)(x−1)，即y=x²+2x−3,可知顶点坐标为(−1,−4).
(2)由
(1)知顶点坐标为(−1,−4)，所以把二次函数y=x²+2x−3的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位可使得该图象的顶点在原点.

20. (8分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 2\angle C$.
(1)在图中作出$\angle BAC的平分线AE$,交$BC于点D$.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,求证:$\triangle ABD\backsim\triangle CBA$.

答案：
(1)如图，AD为所作.
(2)证明:
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC;
∵∠BAC=2∠C,
∴∠BAD=∠C.
∵∠ABD=∠CBA,
∴△ABD∽△CBA.

21. (8分)已知二次函数$y= (x+m)(x - 1)的图象经过点(2,-3)$.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)在下图中画出这个函数的图象,并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程$(x+m)(x - 1)= -3$的解.
②当$x$满足什么条件时,$y＞0$?

答案：
(1)将点(2,−3)的坐标代入y=(x+m)(x−1),解得m=−5,故二次函数的表达式为y=(x−5)(x−1)=x²−6x+5.
(2)①从图象看，直线y=−3和抛物线的交点的横坐标为x=2 或x=4,即方程(x+m)(x−1)=−3的解为x=2或x=4.②从图象看，当x＜1或x＞5时，y＞0.