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10. 如图,A,P,B,C是⊙O上的四点,∠APC= ∠CPB= 60°。若四边形APBC的面积为$\frac{36\sqrt{3}}{7}$,且PA：PB= 1：2,则⊙O的半径为( )
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{4}{3}\sqrt{3}$
D.$\frac{4}{3}\sqrt{7}$
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{4}{3}\sqrt{3}$
D.$\frac{4}{3}\sqrt{7}$
答案：
C[解析]如图，过点A作AE⊥BP交BP的延长线于点E，过点O作OF⊥AB交AB于点F，连结OB.
设AP=x，则BP=2x，
∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠APE=60°，
∴∠ACB=60°，∠EAP=30°.
∴EP= $\frac{1}{2}x$，AE= $\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴AB= $\sqrt{AE^2+EB^2}=\sqrt{7}x$.
又
∵∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
易得△ABC的高为 $\frac{\sqrt{21}}{2}x$，
∴$S_{四边形APBC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ABC}=$
$\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}\cdot \sqrt{7}x\cdot \frac{\sqrt{21}}{2}x=\frac{36\sqrt{3}}{7}$，
解得x= $\frac{4\sqrt{7}}{7}$，
∴AB=4.
∵OF⊥AB，
∴BF= $\frac{1}{2}AB=2$，∠ABO=30°，
∴OB= $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
C[解析]如图，过点A作AE⊥BP交BP的延长线于点E，过点O作OF⊥AB交AB于点F，连结OB.
设AP=x，则BP=2x，
∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠APE=60°，
∴∠ACB=60°，∠EAP=30°.
∴EP= $\frac{1}{2}x$，AE= $\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴AB= $\sqrt{AE^2+EB^2}=\sqrt{7}x$.
又
∵∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
易得△ABC的高为 $\frac{\sqrt{21}}{2}x$，
∴$S_{四边形APBC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ABC}=$
$\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}\cdot \sqrt{7}x\cdot \frac{\sqrt{21}}{2}x=\frac{36\sqrt{3}}{7}$，
解得x= $\frac{4\sqrt{7}}{7}$，
∴AB=4.
∵OF⊥AB，
∴BF= $\frac{1}{2}AB=2$，∠ABO=30°，
∴OB= $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
11. 如图,点A,B,C均在⊙O上,当∠OAC= 50°时,∠B的度数是______。
答案：
40°
12. 如图,⊙O的半径OA= 5 cm,圆心O到弦AB的距离为3 cm,则弦AB的长度为______cm。
答案：
8
13. 如图,在⊙O中,∠AOB= 58°,OB⊥AC于点D,则∠OBC= ______度。
答案：
61
14. 如图,在3×3的正方形网格中,图中的两条弦AB= CD,则∠ABD= ______。
答案：
45°
15. 如图,在半径为1的⊙O中有三条弦,它们所对的圆心角分别为60°,90°,120°,那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是______。
答案：
$\frac{\sqrt{2}}{2}$[解析]如图，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，过点O作OM⊥EF于M，
∴OA=OB=OC=OD=OE=OF=1，
∴∠AOB=60°，∠COD=90°，∠EOF=120°，
∴△AOB是等边三角形，△COD是等腰直角三角形，
∴AB=OA=1，CD= $\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{2}$.
∵∠EOF=120°，OE=OF，
∴∠OFE=30°，FM= $\frac{1}{2}EF$，
∴OM= $\frac{1}{2}OF=\frac{1}{2}$，
由勾股定理得，FM= $\sqrt{OF^2-OM^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴EF= $\sqrt{3}$，
∴三条弦组成的三角形的三条边的长度为1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$.
∵$1^2+(\sqrt{2})^2=3=(\sqrt{3})^2$，
∴该三角形是以1，$\sqrt{2}$为直角边的直角三角形，
∴面积为 $\frac{1× \sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$[解析]如图，连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，过点O作OM⊥EF于M，
∴OA=OB=OC=OD=OE=OF=1，
∴∠AOB=60°，∠COD=90°，∠EOF=120°，
∴△AOB是等边三角形，△COD是等腰直角三角形，
∴AB=OA=1，CD= $\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{2}$.
∵∠EOF=120°，OE=OF，
∴∠OFE=30°，FM= $\frac{1}{2}EF$，
∴OM= $\frac{1}{2}OF=\frac{1}{2}$，
由勾股定理得，FM= $\sqrt{OF^2-OM^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴EF= $\sqrt{3}$，
∴三条弦组成的三角形的三条边的长度为1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$.
∵$1^2+(\sqrt{2})^2=3=(\sqrt{3})^2$，
∴该三角形是以1，$\sqrt{2}$为直角边的直角三角形，
∴面积为 $\frac{1× \sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
16. 如图,△ABC内接于⊙O,其外角平分线AD交⊙O于点D,DM⊥AC于点M,则下列结论中正确的是______。(填序号)
①DB= DC. ②AC＋AB= 2CM. ③AC－AB= 2AM. ④$S_{\triangle ABD}= S_{\triangle ABC}$。
①DB= DC. ②AC＋AB= 2CM. ③AC－AB= 2AM. ④$S_{\triangle ABD}= S_{\triangle ABC}$。
答案：
①②③
17. (8分)如图,已知△ABC中,∠C= 90°,AC= 3,BC= 4,以点C为圆心作⊙C,半径为r。
(1)当r取什么值时,点A,B在⊙C外？
(2)当r取什么值时,点A在⊙C内,点B在⊙C外。
(1)当r取什么值时,点A,B在⊙C外？
(2)当r取什么值时,点A在⊙C内,点B在⊙C外。
答案：
解:
(1)若点A，B在⊙C外，则AC＞r.
∵AC=3，
∴0＜r＜3.
(2)若点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC.
∵AC=3，BC=4，
∴3＜r＜4.
(1)若点A，B在⊙C外，则AC＞r.
∵AC=3，
∴0＜r＜3.
(2)若点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC.
∵AC=3，BC=4，
∴3＜r＜4.
18. (8分)如图,已知点A(2,4),B(1,1),C(3,2)。
(1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°,得△A1B1C1,画出△A1B1C1的图形,并写出点C的对应点C1的坐标为______。
(2)画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2。
(1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°,得△A1B1C1,画出△A1B1C1的图形,并写出点C的对应点C1的坐标为______。
(2)画出△ABC关于原点成中心对称的图形△A2B2C2。
答案：
解:
(1)如图，△A₁B₁C₁即为所求，点C₁的坐标为(-2，3).
故答案为(-2，3).
(2)△A₂B₂C₂即为所求.
解:
(1)如图，△A₁B₁C₁即为所求，点C₁的坐标为(-2，3).
故答案为(-2，3).
(2)△A₂B₂C₂即为所求.
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