《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社七年级理综人教版》

19. 在平面直角坐标系中，对于点$P(x,y)$，若点$Q$的坐标为$(ay + x,ax + y)$，其中$a$为常数，则称点$Q$是点$P$的“$a$级关联点”。例如：点$P(1,4)$的“2级关联点”为$Q(2×4 + 1,2×1 + 4)$，即$Q(9,6)$。
（1）已知点$A(2,-1)$的“3级关联点”为点$B$，求点$B$的坐标。
（2）已知点$P(x,y)$的“2级关联点”的坐标为$(0,3)$，求点$P$的坐标。

答案： 解：
(1) $ \because $ 点 $ A ( 2 , - 1 ) $ 的“3 级关联点”为点 $ B $，$ \therefore $ 点 $ B $ 的坐标为 $ ( 3 × ( - 1 ) + 2 , 3 × 2 - 1 ) $，$ \therefore $ 点 $ B $ 的坐标为 $ ( - 1 , 5 ) $.
(2) 点 $ P ( x , y ) $ 的“2 级关联点”的坐标为 $ ( 0 , 3 ) $，
$ \therefore \left\{ \begin{array} { l } { 2 y + x = 0 , } \\ { 2 x + y = 3 . } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x = 2 , } \\ { y = - 1 . } \end{array} \right. $ $ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ ( 2 , - 1 ) $.

20. 某学校准备举办“我和我的祖国”主题演讲比赛。学校计划为比赛购买$A$，$B$两种奖品。已知购买1个$A$种奖品和4个$B$种奖品共需120元，购买5个$A$种奖品和6个$B$种奖品共需250元。
（1）求$A$，$B$两种奖品的单价。
（2）学校准备购买$A$，$B$两种奖品共60个，且$B$种奖品的数量不少于$A$种奖品数量的$\frac {1}{3}$，购买预算不超过1285元，学校有哪几种购买方案？

答案： 解：
(1) 设 A 种奖品的单价为 $ x $ 元，B 种奖品的单价为 $ y $ 元.
由题意，得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 120 , } \\ { 5 x + 6 y = 250 . } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x = 20 , } \\ { y = 25 . } \end{array} \right. $
答：A 种奖品的单价为 20 元，B 种奖品的单价为 25 元.
(2) 设购买 A 种奖品 $ m $ 个，则购买 B 种奖品 $ ( 60 - m ) $ 个.
由题意，得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 60 - m \geq \frac { 1 } { 3 } m , } \\ { 20 m + 25 ( 60 - m ) \leq 1285 . } \end{array} \right. $
解得 $ 43 \leq x \leq 45 $. $ \because m $ 为整数，$ \therefore m $ 可取 43 或 44 或 45，$ \therefore 60 - m $ 的值为 17 或 16 或 15，
$ \therefore $ 学校有三种购买方案：
方案一，购买 A 种奖品 43 个，购买 B 种奖品 17 个；
方案二，购买 A 种奖品 44 个，购买 B 种奖品 16 个；
方案三，购买 A 种奖品 45 个，购买 B 种奖品 15 个.