《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社七年级理综人教版》

2. （1）先计算，再仔细观察计算结果找规律.
① $\sqrt{11 - 2}=$3；
② $\sqrt{1111 - 22}=$33；
③ $\sqrt{111111 - 222}=$333.
（2）按照这个规律猜想填空.
① $\sqrt{\underbrace{111\cdots1}_{2006个1} - \underbrace{222\cdots2}_{1003个2}}=$$\underbrace{333 \cdots 3}_{1003 个 3}$；
② $\sqrt{\underbrace{111\cdots1}_{2n个1} - \underbrace{222\cdots2}_{n个2}}=$$\underbrace{333 \cdots 3}_{n 个 3}$.
你能证明你的猜想是正确的吗？

答案：
(1) ① $\sqrt{9} = 3$ ② $\sqrt{1089} = 33$ ③ $\sqrt{110889} = 333$
(2) ① $\underbrace{333 \cdots 3}_{1003 个 3}$ ② $\underbrace{333 \cdots 3}_{n 个 3}$
证明：$\because \underbrace{111 \cdots 1}_{2n 个 1} = \frac{1}{9}(10^{2n} - 1)$，$\underbrace{222 \cdots 2}_{n 个 2} = \frac{2}{9}(10^n - 1)$，
$\therefore \sqrt{\underbrace{111 \cdots 1}_{2n 个 1} - \underbrace{222 \cdots 2}_{n 个 2}} = \sqrt{\frac{1}{9}(10^{2n} - 1) - \frac{2}{9}(10^n - 1)} = \frac{1}{3}(10^n - 1) = \underbrace{333 \cdots 3}_{n 个 3}$。