《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社七年级理综人教版》

18. 如图,已知$AC,BC$分别平分$∠QAB,∠ABN$,且$∠1$与$∠2$互余,求证:$PQ// MN$.
证明:∵∠1与∠2互余,∴∠1 + ∠2 = 90°.∵AC,BC分别平分∠QAB,∠ABN,∴∠BAQ = 2∠1,∠ABN = 2∠2.∴∠BAQ + ∠ABN = 2∠1 + 2∠2 = 2(∠1 + ∠2) = 180°,∴PQ//MN.

答案： 证明:
∵∠1与∠2互余,
∴∠1 + ∠2 = 90°.
∵AC,BC分别平分∠QAB,∠ABN,
∴∠BAQ = 2∠1,∠ABN = 2∠2.
∴∠BAQ + ∠ABN = 2∠1 + 2∠2 = 2(∠1 + ∠2) = 180°,
∴PQ//MN.

【探究一】
观察下面各图,寻找对顶角(不含平角):

(1)如图1,图中共有2对不同的对顶角;
(2)如图2,图中共有6对不同的对顶角;
(3)如图3,图中共有12对不同的对顶角;
(4)研究(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有$n$($n$为正整数,且$n\geq 2$)条直线相交于一点,则可形成n(n−1)对不同的对顶角;
(5)若2025条直线相交于一点,则可形成4098600对不同的对顶角.

答案：
(1)2
(2)6
(3)12
(4)n(n−1)
(5)4098600

【探究二】
(1)3条直线两两相交最多有3个交点,此时有6对不同的对顶角;
(2)4条直线两两相交最多有6个交点,此时有12对不同的对顶角;
(3)$n$($n$为正整数,且$n\geq 2$)条直线两两相交最多有$\frac{n(n−1)}{2}$个交点,此时有$n(n−1)$对不同的对顶角;
(4)2025条直线两两相交最多有2049300个交点,此时有4098600对不同的对顶角.

答案：
(1)3　6
(2)6　12
(3)$\frac{n(n−1)}{2}$　n(n−1)
(4)2049300　4098600