《2025年暑假乐园辽宁师范大学出版社七年级理综人教版》

【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动。如图，已知射线$AM// BN$，连接$AB$，点$P$是射线$AM$上的一个动点（与点$A$不重合），$BC$，$BD$分别平分$∠ABP$和$∠PBN$，且分别交射线$AM$于点$C$，$D$。


【探索发现】
（1）当$∠A = 60^{\circ}$时，求证：$∠CBD = ∠A$。
（2）“快乐小组”经过探索后发现：不断改变$∠A$的度数，$∠CBD$与$∠A$始终存在某种数量关系。
①当$∠A = 40^{\circ}$时，$∠CBD =$________$^{\circ}$；
②当$∠A = x^{\circ}$时，$∠CBD =$________$^{\circ}$（用含$x$的代数式表示）。
【操作探究】
（3）“智慧小组”利用量角器量出$∠APB$和$∠ADB$的度数后，探究这两个角之间的数量关系。他们惊奇地发现，当点$P$在射线$AM$上运动时，无论点$P$在$AM$上的什么位置，$∠APB$与$∠ADB$之间的数量关系都保持不变。请求出它们的关系，并说明理由。

（1）当$∠A = 60^{\circ}$时，求证：$∠CBD = ∠A$。
（2）①当$∠A = 40^{\circ}$时，$∠CBD =$70$^{\circ}$；
②当$∠A = x^{\circ}$时，$∠CBD =$$90-\frac{1}{2}x$$^{\circ}$（用含$x$的代数式表示）。
（3）$∠APB$与$∠ADB$之间的数量关系是$∠APB=2∠ADB$.理由如下:∵AM//BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠NBD.∵BD 平分∠PBN，∴∠PBN=2∠NBD，∴∠APB=2∠ADB.

答案：
(1)证明:
∵AM//BN，∠A=60°，
∴∠ABN=180°−∠A=120°.
∵BC，BD 分别平分∠ABP 和∠PBN，
∴∠PBD=$\frac{1}{2}$∠PBN，∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABP，
∴∠PBD+∠CBP=$\frac{1}{2}$(∠PBN+∠ABP)=$\frac{1}{2}$∠ABN，
∴∠CBD=∠PBD+∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABN=60°，
∴∠CBD=∠A.
(2)①70 ②$\left(90-\frac{1}{2}x\right)$
(3)∠APB 与∠ADB 之间的数量关系是∠APB=2∠ADB.理由如下:
∵AM//BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠NBD.
∵BD 平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠NBD，
∴∠APB=2∠ADB.