《2025年暑假生活七年级数学人教版安徽教育出版社》

16. 阅读探索:
材料: 解方程组 $ \left\{ \begin{array} { l } { ( a - 1 ) + 2 ( b + 2 ) = 6, } \\ { 2 ( a - 1 ) + ( b + 2 ) = 6 } \end{array} \right. $ 时, 采用了一种“换元法”的解法.
解: 设 $ a - 1 = x, b + 2 = y $, 原方程组可化为 $ \left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 6, } \\ { 2 x + y = 6, } \end{array} \right. $
解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x = 2, } \\ { y = 2, } \end{array} \right. $ 即 $ \left\{ unitable16 \right. $ 解得 $ \left\{ unitable17 \right. $
$ \therefore $ 这个方程组的解为 $ \left\{ \begin{array} { l } { a = 3, } \\ { b = 0. } \end{array} \right. $
根据上述材料, 解决下列问题:
(1) 运用换元法求解关于 $ a, b $ 的方程组 $ \left\{ \begin{array} { l } { ( \frac { a } { 4 } - 1 ) + 2 ( \frac { b } { 3 } + 2 ) = 4, } \\ { 2 ( \frac { a } { 4 } - 1 ) + ( \frac { b } { 3 } + 2 ) = 5. } \end{array} \right. $
(2) 若关于 $ x, y $ 的方程组 $ \left\{ \begin{array} { l } { a _ { 1 } x + b _ { 1 } y = c _ { 1 }, } \\ { a _ { 2 } x + b _ { 2 } y = c _ { 2 } } \end{array} \right. $ 的解为 $ \left\{ unitable21 \right. $ 求关于 $ m, n $ 的方程组 $ \left\{ unitable22 \right. $ 的解.

答案： 解：
(1) 设 $\frac{a}{4} - 1 = x$，$\frac{b}{3} + 2 = y$，
∴原方程组可以化为 $\begin{cases}x + 2y = 4,① \\2x + y = 5,②\end{cases}$
用② - ①×2，得 $-3y = -3$，解得 $y = 1$，
把 $y = 1$ 代入①，得 $x + 2 = 4$，解得 $x = 2$，
∴方程组的解为 $\begin{cases}x = 2, \\y = 1,\end{cases}$ 即 $\begin{cases}\frac{a}{4} - 1 = 2, \frac{b}{3} + 2 = 1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 12, \\b = -3.\end{cases}$
∴这个方程组的解为 $\begin{cases}a = 12, \\b = -3.\end{cases}$
(2) 设 $5(m - 3) = x$，$3(n + 2) = y$，则原方程组可化为
$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\a_2x + b_2y = c_2,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}5(m - 3) = 10, \\3(n + 2) = 6,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m = 5, \\n = 0.\end{cases}$
∴这个方程组的解为 $\begin{cases}m = 5, \\n = 0.\end{cases}$