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16. 课堂上老师提出一个问题:“一个数是 74 088,它的立方根是多少?”小明脱口而出:“42.”老师十分惊讶,忙问计算的奥妙. 小明给出以下方法:
①由 $10^3 = 1000,100^3 = 1000000$,能确定 $\sqrt[3]{74088}$ 是两位数;
②由 74 088 的个位上的数是 8,因为 $2^3 = 8$,能确定 $\sqrt[3]{74088}$ 的个位上的数是 2;
③如果划去 74 088 后面的三位 088 得到数 74,而 $4^3 = 64,5^3 = 125$,由此能确定 $\sqrt[3]{74088}$ 的十位上的数是 4.
(提示:$6^3 = 216,7^3 = 343,8^3 = 512,9^3 = 729$)
已知 $\sqrt[3]{493039}$ 为整数,利用以上方法,则 $\sqrt[3]{493039}$ 的每个数位上的数字之和为()
A.15
B.16
C.17
D.19
①由 $10^3 = 1000,100^3 = 1000000$,能确定 $\sqrt[3]{74088}$ 是两位数;
②由 74 088 的个位上的数是 8,因为 $2^3 = 8$,能确定 $\sqrt[3]{74088}$ 的个位上的数是 2;
③如果划去 74 088 后面的三位 088 得到数 74,而 $4^3 = 64,5^3 = 125$,由此能确定 $\sqrt[3]{74088}$ 的十位上的数是 4.
(提示:$6^3 = 216,7^3 = 343,8^3 = 512,9^3 = 729$)
已知 $\sqrt[3]{493039}$ 为整数,利用以上方法,则 $\sqrt[3]{493039}$ 的每个数位上的数字之和为()
A.15
B.16
C.17
D.19
答案：
16.B
17. 我们知道 $a + b = 0$ 时,$a^3 + b^3 = 0$ 也成立,若将 $a$ 看成 $a^3$ 的立方根,$b$ 看成 $b^3$ 的立方根,我们能否得出这样的结论:若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数?
(1)试举一个例子来判断上述结论是否成立.
(2)若 $\sqrt[3]{1 - 2x}$ 与 $\sqrt[3]{3x - 5}$ 互为相反数,求 $1 - \sqrt{x}$ 的值.
(1)试举一个例子来判断上述结论是否成立.
(2)若 $\sqrt[3]{1 - 2x}$ 与 $\sqrt[3]{3x - 5}$ 互为相反数,求 $1 - \sqrt{x}$ 的值.
答案：
17.解:
(1)
∵2+(−2)=0,
而且2³=8,(−2)³=−8,有8−8=0,
∴结论成立.
∴“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”是成立的.
(2)由
(1)验证的结果，知1−2x+3x−5=0，
∴x=4.
∴1−$\sqrt{x}$=1−2=−1.
(1)
∵2+(−2)=0,
而且2³=8,(−2)³=−8,有8−8=0,
∴结论成立.
∴“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”是成立的.
(2)由
(1)验证的结果，知1−2x+3x−5=0，
∴x=4.
∴1−$\sqrt{x}$=1−2=−1.
18. 下面是小李同学探索 $\sqrt{107}$ 的近似数的过程:
$\because$ 面积为 107 的正方形边长是 $\sqrt{107}$,且 $10 ＜ \sqrt{107} ＜ 11$,
$\therefore$ 设 $\sqrt{107} = 10 + x$,其中 $0 ＜ x ＜ 1$,画出如图所示的示意图.
$\because$ 图中 $S_{正方形} = 10^2 + 2 × 10x + x^2,S_{正方形} = 107$,
$\therefore 10^2 + 2 × 10x + x^2 = 107$.
当 $x^2$ 较小时,省略 $x^2$,得 $20x + 100 \approx 107$,得到 $x \approx 0.35$,即 $\sqrt{107} \approx 10.35$.
(1)$\sqrt{76}$ 的整数部分是______.
(2)仿照上述方法,探究 $\sqrt{76}$ 的近似值(画出示意图,标明数据,并写出求解过程).
$\because$ 面积为 107 的正方形边长是 $\sqrt{107}$,且 $10 ＜ \sqrt{107} ＜ 11$,
$\therefore$ 设 $\sqrt{107} = 10 + x$,其中 $0 ＜ x ＜ 1$,画出如图所示的示意图.
$\because$ 图中 $S_{正方形} = 10^2 + 2 × 10x + x^2,S_{正方形} = 107$,
$\therefore 10^2 + 2 × 10x + x^2 = 107$.
当 $x^2$ 较小时,省略 $x^2$,得 $20x + 100 \approx 107$,得到 $x \approx 0.35$,即 $\sqrt{107} \approx 10.35$.
(1)$\sqrt{76}$ 的整数部分是______.
(2)仿照上述方法,探究 $\sqrt{76}$ 的近似值(画出示意图,标明数据,并写出求解过程).
答案：
18.解:
(1)
∵$\sqrt{64}$＜$\sqrt{76}$＜$\sqrt{81}$,即8＜$\sqrt{76}$＜9,
∴$\sqrt{76}$的整数部分为8.
故答案为8.
(2)
∵面积为76的正方形边长是$\sqrt{76}$,且8＜$\sqrt{76}$＜9,
∴设$\sqrt{76}$=8+x,其中0＜x＜1,如图所示.
∵图中$S_{正方形}=8^{2}+2×8\cdot x+x^{2}$，$S_{正方形}=76$，
∴8²+2×8·x+x²=76.
当x²较小时，省略x²,得16x+64≈76,解得x=0.75,即$\sqrt{76}$≈8.75.
18.解:
(1)
∵$\sqrt{64}$＜$\sqrt{76}$＜$\sqrt{81}$,即8＜$\sqrt{76}$＜9,
∴$\sqrt{76}$的整数部分为8.
故答案为8.
(2)
∵面积为76的正方形边长是$\sqrt{76}$,且8＜$\sqrt{76}$＜9,
∴设$\sqrt{76}$=8+x,其中0＜x＜1,如图所示.
∵图中$S_{正方形}=8^{2}+2×8\cdot x+x^{2}$，$S_{正方形}=76$，
∴8²+2×8·x+x²=76.
当x²较小时，省略x²,得16x+64≈76,解得x=0.75,即$\sqrt{76}$≈8.75.
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