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13. 生活常识告诉我们:糖水里再添加糖,在糖完全溶解的情况下,糖水会变得更甜.我们把糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度,甜度越大糖水越甜. 小观现在有一杯质量为 100 g 的糖水,其中含有 a g 糖 $(0＜a＜100)$. 他试了一下感觉不够甜,又向其中添加了 10 g 糖,并搅拌至完全溶解.
(1)原来糖水的甜度为 ,加糖后糖水的甜度为 .
(2)根据加糖前后糖水的甜度,请你利用不等式的基本性质证明加糖后糖水确实变甜了.
(3)要使糖水口感好,又比较健康,甜度应不低于 10%,又不超过 15%.如果上述操作后糖水甜度符合要求,那么 a 应该在什么范围?
(1)原来糖水的甜度为 ,加糖后糖水的甜度为 .
(2)根据加糖前后糖水的甜度,请你利用不等式的基本性质证明加糖后糖水确实变甜了.
(3)要使糖水口感好,又比较健康,甜度应不低于 10%,又不超过 15%.如果上述操作后糖水甜度符合要求,那么 a 应该在什么范围?
答案：
解：
(1)$ \frac{a}{100} $ $ \frac{a + 10}{110} $
(2)加糖前糖水的甜度为$ \frac{a}{100} $，加糖后糖水的甜度为$ \frac{a + 10}{110} $，
$ \frac{a + 10}{110} - \frac{a}{100} = \frac{10a + 100}{1100} - \frac{11a}{1100} = \frac{10a + 100 - 11a}{1100} = \frac{100 - a}{1100} $，
$ \because 0 ＜ a ＜ 100 $，$ \therefore 100 - a ＞ 0 $.
$ \therefore \frac{a + 10}{110} - \frac{a}{100} ＞ 0 $，即$ \frac{a + 10}{110} ＞ \frac{a}{100} $.
$ \therefore $加糖后糖水确实变甜了.
(3)根据题意，得$ \begin{cases} \frac{a + 10}{110} \geqslant 10\%, \\ \frac{a + 10}{110} \leqslant 15\%, \end{cases} $解得$ 1 \leqslant a \leqslant 6.5 $.
$ \therefore a $的取值范围为$ 1 \leqslant a \leqslant 6.5 $.
(1)$ \frac{a}{100} $ $ \frac{a + 10}{110} $
(2)加糖前糖水的甜度为$ \frac{a}{100} $，加糖后糖水的甜度为$ \frac{a + 10}{110} $，
$ \frac{a + 10}{110} - \frac{a}{100} = \frac{10a + 100}{1100} - \frac{11a}{1100} = \frac{10a + 100 - 11a}{1100} = \frac{100 - a}{1100} $，
$ \because 0 ＜ a ＜ 100 $，$ \therefore 100 - a ＞ 0 $.
$ \therefore \frac{a + 10}{110} - \frac{a}{100} ＞ 0 $，即$ \frac{a + 10}{110} ＞ \frac{a}{100} $.
$ \therefore $加糖后糖水确实变甜了.
(3)根据题意，得$ \begin{cases} \frac{a + 10}{110} \geqslant 10\%, \\ \frac{a + 10}{110} \leqslant 15\%, \end{cases} $解得$ 1 \leqslant a \leqslant 6.5 $.
$ \therefore a $的取值范围为$ 1 \leqslant a \leqslant 6.5 $.
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