《2025年暑假生活七年级数学人教版安徽教育出版社》

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检票问题
旅客在车站候车室等候检票, 已知排队的旅客按照一定的速度在增加, 且检票速度一定, 若车站开放一个检票口, 需半个小时可将待检旅客全部检票进站; 若同时开放两个检票口, 只需 10 分钟便可将待检旅客全部检票进站. 现有一辆增开列车过境载客, 必须在 5 分钟内让旅客全部检票进站, 此车站至少要同时开放几个检票口?
分析:
(1) 本题是一道贴近实际生活的应用题, 给出的数量关系具有一定的隐蔽性, 仔细阅读后发现涉及的量为原排队人数、旅客按一定速度增加的人数、每个检票口的检票速度等.
(2) 分别给分析出的量一个代表符号: 设检票开始时等候检票的旅客人数为 $ x $, 排队队伍每分钟增加 $ y $ 人, 每个检票口每分钟检票 $ z $ 人, 至少同时开放 $ n $ 个检票口, 就可在 5 分钟内让旅客全部检票进站.
(3) 把上述内容翻译成数学语言:
① 开放一个检票口, 需半个小时检票完, 即原等候进站的人数和这半小时增加的人数等于这半小时检票进站的人数, 得方程 ______;
② 开放两个检票口, 需 10 分钟检票完, 得方程 ______;
③ 开放 $ n $ 个检票口, 最多需 5 分钟检票完, 得方程 ______.
请同学们利用上面的三个式子, 求最多 5 分钟检票完, 需要同时开放几个检票口.

答案： 1. 首先写出三个方程：
①开放一个检票口，半小时（$30$分钟）检票完，根据原等候进站的人数和这半小时增加的人数等于这半小时检票进站的人数，得方程$x + 30y=30z$；
②开放两个检票口，$10$分钟检票完，得方程$x + 10y = 2×10z$；
③开放$n$个检票口，$5$分钟检票完，得方程$x + 5y=n×5z$。
2. 然后解方程组$\begin{cases}x + 30y=30z\\x + 10y = 20z\end{cases}$：
用第一个方程$x + 30y=30z$减去第二个方程$x + 10y = 20z$，即$(x + 30y)-(x + 10y)=30z - 20z$。
展开括号得$x + 30y−x - 10y = 10z$。
合并同类项得$20y = 10z$，解得$z = 2y$。
把$z = 2y$代入$x + 10y = 20z$中，得$x+10y=20×2y$。
即$x+10y = 40y$，移项可得$x = 30y$。
3. 最后把$x = 30y$，$z = 2y$代入$x + 5y=n×5z$中：
得到$30y+5y=n×5×2y$。
左边合并同类项得$35y$，右边为$10ny$。
因为$y\neq0$（$y = 0$时，问题无实际意义），方程两边同时除以$y$，得$35 = 10n$。
解得$n=\frac{35}{10}=3.5$。
由于$n$为检票口数量，应为整数，所以$n = 4$。
故至少要同时开放$4$个检票口。