《2025年暑假生活七年级数学人教版安徽教育出版社》

16. 借助计算器求出:$\sqrt {4^{2}+3^{2}}= $ ,$\sqrt {44^{2}+33^{2}}= $ ,$\sqrt {444^{2}+333^{2}}= $ ,…,试猜想$\sqrt {\frac {44... 4^{2}+33... 3^{2}}{2025个2025个}}= $ .

答案： 5 55 555 $\underbrace{55 \cdots 5}_{2025 \text { 个 }}$

17. 请阅读材料:一般地,如果一个正数 x 的平方等于 a,即$x^{2}= a$,那么正数 x 就叫作 a 的算术平方根,记作$\sqrt {a}$(即$\sqrt {a}= \sqrt {x^{2}}= x$),如$3^{2}= 9$,3 叫作 9 的算术平方根.
(1)计算下列各式的值:$\sqrt {4}= $ ,$\sqrt {25}= $ ,$\sqrt {100}= $ .
(2)观察(1)中的结果,$\sqrt {4},\sqrt {25},\sqrt {100}$之间存在的关系为 .
(3)由(2)可猜想:$\sqrt {a}\cdot \sqrt {b}= $ $(a≥0,b≥0).$
(4)根据(3)计算:$\sqrt {2}×\sqrt {8}= $ ,$\sqrt {3}×\sqrt {\frac {4}{27}}= $ .

答案：
(1) 2 5 10
(2) $\sqrt{4} × \sqrt{25}=\sqrt{100}$
(3) $\sqrt{a b}$
(4) 4 $\frac{2}{3}$

18. 新定义:若无理数$\sqrt {T}$的被开方数(T 为正整数)满足$n^{2}＜T＜(n+1)^{2}$(其中n为正整数),则称无理数$\sqrt {T}$的“青一区间”为$(n,n+1)$;同理,规定无理数$-\sqrt {T}$的“青一区间”为$(-n-1,-n)$,例如:因为$1^{2}＜2＜2^{2}$,所以$\sqrt {2}$的“青一区间”为$(1,2),-\sqrt {2}$的“青一区间”为$(-2,-1)$,据此回答下列问题:
(1)$\sqrt {17}$的“青一区间”为 ;$-\sqrt {23}$的“青一区间”为 .
(2)实数 x,y 满足关系式:$\sqrt {x-3}+|2023+(y-4)^{2}|= 2023$,求$\sqrt {xy}$的“青一区间”.

答案： 解:
(1) $\because 4^{2}＜17＜5^{2}$,
$\therefore \sqrt{17}$ 的 “青一区间” 为 $(4,5)$.
$\because 4^{2}＜23＜5^{2}$,
$\therefore-\sqrt{23}$ 的 “青一区间” 为 $(-5,-4)$.
故答案为 $(4,5),(-5,-4)$.
(2) $\because \sqrt{x-3}+|2023+(y-4)^{2}|=2023$,
$\therefore \sqrt{x-3}+2023+(y-4)^{2}=2023$,
即 $\sqrt{x-3}+(y-4)^{2}=0$.
$\therefore x=3, y=4$.
$\therefore \sqrt{x y}=\sqrt{12}$.
$\because 3^{2}＜12＜4^{2}$,
$\therefore \sqrt{x y}$ 的 “青一区间” 为 $(3,4)$.