《2025年初中总复习山东教育出版社数学中考》

10. 已知:$m+\frac{1}{m}=5$,则$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=$________.

答案： 23 [当 m + $\frac{1}{m}$ = 5 时, m² + $\frac{1}{m²}$ = (m + $\frac{1}{m}$)² - 2 = 5² - 2 = 25 - 2 = 23. 故答案为 23.]

11. [开放性试题](2024·吉林)当分式$\frac{1}{x + 1}$的值为正数时,写出一个满足条件的x的值为________.

答案： 0(答案不唯一) [
∵ $\frac{1}{x + 1}$＞0, 1＞0,
∴ x + 1＞0,
即 x＞ -1, 则满足条件的 x 的值可以为 0(答案不唯一).]

12. (9分)(2024·甘肃临夏)化简:$(a + 1+\frac{1}{a - 1})\div\frac{a^{2}+a}{a - 1}$.

答案： 解:原式 = $\frac{(a + 1)(a - 1) + 1}{a - 1}$·$\frac{a - 1}{a(a + 1)}$
=$\frac{a² - 1 + 1}{a - 1}$·$\frac{a - 1}{a(a + 1)}$ = $\frac{a²}{a - 1}$·$\frac{a - 1}{a(a + 1)}$ = $\frac{a}{a + 1}$.

13. (9分)(2024·北京)已知$a - b - 1 = 0$,求代数式$\frac{3(a - 2b)+3b}{a^{2}-2ab + b^{2}}$的值.

答案： 解:
∵ a - b - 1 = 0,
∴ a - b = 1,
∴ $\frac{3(a - 2b) + 3b}{a² - 2ab + b²}$ = $\frac{3a - 6b + 3b}{(a - b)²}$ = $\frac{3a - 3b}{(a - b)²}$ = $\frac{3(a - b)}{(a - b)²}$ = $\frac{3}{a - b}$
=$\frac{3}{1}$ = 3.

14. (10分)[易错题](2023·威海)先化简$(a-\frac{2a - 1}{a})\div\frac{a^{2}-1}{a}$,再从$-3 ＜ a ＜ 3$的范围内选择一个合适的数代入求值.

答案： 解:原式 = $\frac{a² - 2a + 1}{a}$÷$\frac{(a + 1)(a - 1)}{a}$
=$\frac{(a - 1)²}{a}$·$\frac{a}{(a + 1)(a - 1)}$ = $\frac{a - 1}{a + 1}$.
要使分式有意义, a≠0 且 a - 1≠0 且 a + 1≠0,
所以 a 不能为 0, 1, -1,
取 a = 2,
当 a = 2 时, 原式 = $\frac{2 - 1}{2 + 1}$ = $\frac{1}{3}$.(答案不唯一, 选择其他符合条件的数代入, 计算正确均可)

15. 分式$\frac{x^{2}+2}{x^{2}+1}$的值,可以等于(　　　)
[A] - 1　　　[B] 0　　　　　[C] 1　　　　　[D] 2

答案： D [$\frac{x² + 2}{x² + 1}$ = 1 + $\frac{1}{x² + 1}$＞1, 当 x = 0 时, 原式 = 2, 故选 D.]

16. 不改变分式的值,将分式$\frac{-0.2x - 1}{-0.3x + 0.5}$中的分子与分母的各项系数化为整数,且第一项系数都是最小的正整数,正确的是(　　　)
[A] $\frac{2x + 1}{3x - 5}$　　[B] $\frac{2x - 10}{3x + 5}$　　[C] $\frac{2x + 10}{3x + 5}$　　[D] $\frac{2x + 10}{3x - 5}$

答案： D [原式 = $\frac{0.2x + 1}{0.3x - 0.5}$ = $\frac{10(0.2x + 1)}{10(0.3x - 0.5)}$ = $\frac{2x + 10}{3x - 5}$, 故选 D.]