《2025年初中总复习山东教育出版社数学中考》

13.[动手操作题](2024·黑龙江齐齐哈尔)如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心，适当长为半径画弧,交x轴正半轴于点M,交y轴正半轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}$MN的长为半径画弧,两弧在第一象限交于点H,画射线OH,若H(2a - 1,a + 1),则a = ________.

答案： 2　[由作图过程可知，$OH$为$\angle MON$的平分线，$\therefore\angle MOH = 45^{\circ}$，$\therefore 2a - 1 = a + 1$，解得$a = 2$.]

14.(12分)(2024·北京)小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯),在科技活动中,小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯,并将其制作出来,新水杯(记为2号杯)示意图如图,当1号杯和2号杯中都有V mL水时,小云分别记录了1号杯的水面高度$h_{1}($单位:cm)和2号杯的水面高度$h_{2}($单位:cm),部分数据如下:
| V/mL | 0 | 40 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
$| h_{1}/cm | 0 | | 2.5 | 5.0 | 7.5 | 10.0 | 12.5 |$
$| h_{2}/cm | 0 | 2.8 | 4.8 | 7.2 | 8.9 | 10.5 | 11.8 |$
(1)补全表格(结果保留小数点后一位);
(2)通过分析数据,发现可以用函数刻画$h_{1}$与$V,h_{2}$与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中,画出这两个函数的图象;


(3)根据以上数据与函数图象,解决下列问题:
①当1号杯和2号杯中都有320 mL水时,2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为__________cm(结果保留小数点后一位);
②在①的条件下,将2号杯中的一部分水倒入1号杯中,当两个水杯的水面高度相同时,其水面高度约为________cm(结果保留小数点后一位).

答案：
解:
(1)由题意得，设$V$与$h_{1}$的函数关系式为：$V = kh_{1}(k\neq0)$，由表格数据得：$100 = 2.5k$，解得：$k = 40$，$\therefore V = 40h_{1}$，$\therefore$当$V = 40$时，$40h_{1}= 40$，$\therefore h_{1}= 1.0\ cm$.故答案为1.0.
(2)如图所示，即为所画图象.

(3)①当$V = 320\ mL$时，$h_{1}=\frac{320}{40}= 8\ cm$，由图象可知高度差$CD\approx1.2\ cm$，

故答案为1.2.
②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为$8.6\ cm$(或$8.5\ cm$).故答案为8.6(或8.5).