《2025年初中总复习山东教育出版社数学中考》

14.[新定义](2024·阳谷县一模)对于非零实数a,b,规定a⊕b = $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$.若(2x - 1)⊕2 = 1,则x的值为________.

答案： $\frac{5}{6}$　[由题意，得$\frac{1}{2x - 1}-\frac{1}{2}=1$,
　解得$x=\frac{5}{6}$.
　经检验,$x=\frac{5}{6}$是原方程的根，
∴$x=\frac{5}{6}$.]

15.(2024·重庆)若关于x的不等式组$\begin{cases}\frac{4x - 1}{3}＜x + 1, \\2(x + 1)\geqslant - x + a\end{cases}$至少有2个整数解,且关于y的分式方程$\frac{a - 1}{y - 1}=2-\frac{3}{1 - y}$的解为非负整数,则所有满足条件的整数a的值之和为________.

答案： 16　$\left\{\begin{array}{l}\frac{4x - 1}{3}\lt x + 1,\textcircled{1}\\2(x + 1)\geqslant - x + a,\textcircled{2}\end{array}\right.$
　解不等式①,得$x\lt4$,
　解不等式②,得$x\geqslant\frac{a - 2}{3}$,
∴该不等式组的解集为$\frac{a - 2}{3}\leqslant x\lt4$,
∵该不等式组至少有2个整数解,
∴$\frac{a - 2}{3}\leqslant2$,
　解得$a\leqslant8$.
　解分式方程$\frac{a - 1}{y - 1}=2-\frac{3}{1 - y}$,
　得$y=\frac{a - 2}{2}$,
　由题意得,当$a = 8$时,$y=\frac{8 - 2}{2}=3$;
　当$a = 6$时,$y=\frac{6 - 2}{2}=2$;
　当$a = 4$时,$y=\frac{4 - 2}{2}=1$(不合题意，舍去);
　当$a = 2$时,$y=\frac{2 - 2}{2}=0$,
∴所有满足条件的整数$a$的值为8,6和2,
∵$8 + 6 + 2 = 16$,
∴所有满足条件的整数$a$的值之和为16.

16.(12分)(2024·广西)综合与实践
在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】步骤一:将校服放进清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后拧干;
步骤二:将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干.重复操作步骤二,直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2％,每次拧干后校服上都残留0.5 kg水.
浓度关系式:$d_{后}=\frac{0.5d_{前}}{0.5 + w}$.其中$d_{前}$、$d_{后}$分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度;w为单次漂洗所加清水量(单位:kg)
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01％
【动手操作】请按要求完成下列任务:
(1)如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为0.01％,需要多少清水?
(2)如果把4 kg清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣目标?
(3)比较(1)和(2)的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你的想法.

答案： 解:
(1)把$d_{后}=0.01\%,d_{前}=0.2\%$代入$d_{后}=\frac{0.5d_{前}}{0.5 + w}$,
　得$0.01\%=\frac{0.5\times0.2\%}{0.5 + w}$,
　解得$w = 9.5$.经检验符合题意.
　所以只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要9.5kg清水.
(2)第一次漂洗:
　把$w = 2$kg,$d_{前}=0.2\%$代入$d_{后}=\frac{0.5d_{前}}{0.5 + w}$,
　所以$d_{后}=\frac{0.5\times0.2\%}{0.5 + 2}=0.04\%$.
　第二次漂洗:
　把$w = 2$kg,$d_{前}=0.04\%$代入$d_{后}=\frac{0.5d_{前}}{0.5 + w}$,
　所以$d_{后}=\frac{0.5\times0.04\%}{0.5 + 2}=0.008\%$,
而$0.008\%\lt0.01\%$,
所以进行两次漂洗，能达到洗衣目标.
(3)由
(1)
(2)的计算结果发现:经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水,
所以从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习.