《2025年初中总复习山东教育出版社数学中考》

11. (2024·福建)已知二次函数 $y = x^{2}-2ax + a$ ($a\neq0$)的图象经过 $A(\frac{a}{2},y_{1}),B(3a,y_{2})$ 两点,则下列判断正确的是　　(　　　)
[A] 可以找到一个实数a,使得 $y_{1}＞a$
[B] 无论实数a取什么值,都有 $y_{1}＞a$
[C] 可以找到一个实数a,使得 $y_{2}＜0$
[D] 无论实数a取什么值,都有 $y_{2}＜0$

答案： C　[
∵二次函数解析式为y=x²−2ax+a(a≠0),
　
∴二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线x=−$\frac{−2a}{2}$=a,顶点坐标为(a,a−a²),
　　当a＞0时,0＜$\frac{a}{2}$＜a,
∴a−a²＜y₁＜a;
　　当a＜0时,a＜$\frac{a}{2}$＜0,
∴a−a²＜y₁＜a,
　故A、B错误，不符合题意.
　　当a＞0时,0＜a＜2a＜3a,由二次函数图象的对称性可知点(0,a)和点(2a,a)关于对称轴对称，在对称轴右侧,y随x的增大而增大,所以当x=3a时,y₂＞a＞0;
　　当a＜0时,3a＜2a＜a＜0,由二次函数图象的对称性可知点(0,a)和点(2a,a)关于对称轴对称，在对称轴左侧,y随x的增大而减小,所以当x=3a时,y₂＞a不一定大于0,故C正确，符合题意;D错误，不符合题意.故选C.]

12. (2024·四川南充)已知抛物线 $C_{1}:y = x^{2}+mx + m$ 与x轴交于两点 $A,B$ ($A$ 在 $B$ 的左侧),抛物线 $C_{2}:y = x^{2}+nx + n$ ($m\neq n$)与x轴交于两点 $C,D$ ($C$ 在 $D$ 的左侧),且 $AB = CD$. 下列四个结论:①$C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点为 $(-1,1)$;②$m + n = 4$;③$mn＞0$;④$A,D$ 两点关于 $(-1,0)$ 对称. 其中正确的结论是________.(填写序号)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： ①②④　[令x²+mx+m=x²+nx+n,解得x=−1,
　把x=−1代入y=x²+mx+m,
　得y=1,
　
∴C₁与C₂交点为(−1,1),故①正确;
∵抛物线C₁:y=x²+mx+m与抛物线C₂:y=x²+nx+n的开口方向和大小相同，且AB = CD,
　
∴两抛物线关于直线x=−1对称，
∴A,D两点关于(−1,0)对称，故④正确;
　−$\frac{m}{2}$−$\frac{n}{2}$=−2,
∴m + n = 4,故②正确;
∵点A,B是抛物线C₁与x轴的两个交点,
∴令y = 0,得x²+mx+m = 0有两个不等实根,
∴Δ=m²−4m＞0,解得m＜0或m＞4,同理n²−4n＞0,解得n＜0或n＞4,由②知m + n = 4,而m = 4 - n,当n＜0时,m＞4,mn＜0;当n＞4时,m＜0,mn＜0,故③错误.]

13. (14分)(2024·威海)已知抛物线 $y = x^{2}+bx + c$ ($b ＜ 0$)与x轴交点的坐标分别为 $(x_{1},0),(x_{2},0)$,且 $x_{1}＜x_{2}$.
　　(1)若抛物线 $y_{1}=x^{2}+bx + c + 1$ ($b ＜ 0$)与x轴交点的坐标分别为 $(x_{3},0),(x_{4},0)$,且 $x_{3}＜x_{4}$,试判断下列每组数据的大小(填写＜、=或＞):
　　①$x_{1}+x_{2}$_______$x_{3}+x_{4}$;②$x_{1}-x_{3}$_______$x_{2}-x_{4}$;③$x_{2}+x_{3}$_______$x_{1}+x_{4}$.
　　(2)若 $x_{1}=1,2 ＜ x_{2}＜3$,求b的取值范围;
　　(3)当 $0\leqslant x\leqslant1$ 时,$y = x^{2}+bx + c$ ($b ＜ 0$)最大值与最小值的差为 $\frac{9}{16}$,求b的值.

答案： 解:
(1)
∵y=x²+bx+c(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x₁,0),(x₂,0),且x₁＜x₂,
∴x₁+x₂=−b,且抛物线开口向上,
∵y₁=x²+bx+c+1(b＜0)与x轴交点的坐标分别为(x₃,0),(x₄,0),且x₃＜x₄,
　即y=x²+bx+c(b＜0)向上平移1个单位长度，
∴x₁＜x₃＜x₄＜x₂,且x₃+x₄=−b,
∴①x₁+x₂ = x₃+x₄;
∵x₂−x₁＞x₄−x₃
∴x₂−x₄＞x₁−x₃,即②x₁−x₃＜x₂−x₄;
　即③x₂+x₃＞x₁+x₄.故答案为=;＜;＞.
(2)
∵x₁ = 1，2＜x₂＜3,
∴3＜−b＜4,
∴−4＜b＜−3.
(3)抛物线y=x²+bx+c(b＜0)顶点坐标为(−$\frac{b}{2}$,$\frac{4c−b²}{4}$),对称轴为直线x=−$\frac{b}{2}$＞0,
　　当x=0时,y=c;
　　当x=1时,y=1+b+c.
　①当在x=0取得最大值，在顶点取得最小值时，
　有c−$\frac{4c−b²}{4}$=$\frac{9}{16}$,
解得b=$\frac{3}{2}$(舍去)或b=−$\frac{3}{2}$;
　②当在x=1取得最大值，在顶点取得最小值时，
　有1+b+c−$\frac{4c−b²}{4}$=$\frac{9}{16}$,
　解得b=−$\frac{7}{2}$(舍去)或b=−$\frac{1}{2}$;
　③当x=0时取最大值,x=1时取得最小值，则有
　c−(1+b+c)=$\frac{9}{16}$,
　b=−$\frac{25}{16}$(舍去).
　综上所述，b的值为−$\frac{3}{2}$或−$\frac{1}{2}$.

14. [新定义](2024·上海)对于一个二次函数 $y = a(x - m)^{2}+k$ ($a\neq0$)中存在一点 $P(x',y')$,使得 $x'-m=y'-k\neq0$,则称 $2|x'-m|$ 为该抛物线的“开口大小”,那么抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x + 3$“开口大小”为_______.

答案： 4　[
∵抛物线y=−$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{3}$x+3=−$\frac{1}{2}$(x−$\frac{1}{3}$)²+$\frac{55}{18}$,
∴x'−$\frac{1}{3}$=−$\frac{1}{2}$(x'−$\frac{1}{3}$)²+$\frac{55}{18}$−$\frac{55}{18}$,
　解得x'−$\frac{1}{3}$=−2,
∴抛物线y=−$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{3}$x+3“开口大小”为2|x'−$\frac{1}{3}$| = 2×|−2| = 4.]