《2025年初中总复习山东教育出版社数学中考》

20.(10分)[项目式学习试题](2024·贵州)综合与实践:小星学习解直角三角形知识后,结合光的折射规律进行了如下综合性学习.
　　
[实验操作]第一步:将长方体空水槽放置在水平桌面上,一束光线从水槽边沿$A$处投射到底部$B$处,入射光线与水槽内壁$AC$的夹角为$\angle A$;
　　第二步:向水槽注水,水面上升到$AC$的中点$E$处时,停止注水.(直线$NN'$为法线,$AO$为入射光线,$OD$为折射光线.)
　　
[测量数据]如图,点$A,B,C,D,E,F,O,N,N'$在同一平面内,测得$AC = 20$cm,$\angle A = 45^{\circ}$,折射角$\angle DON = 32^{\circ}$.
　　
[问题解决]根据以上实验操作和测量的数据,解答下列问题:
　　(1)求$BC$的长;
　　(2)求$B,D$之间的距离(结果精确到0.1 cm).
　　(参考数据:$\sin32^{\circ}\approx0.53$,$\cos32^{\circ}\approx0.85$,$\tan32^{\circ}\approx0.62$)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)在Rt△ABC中，∠A=45°,
　
∴∠B=45°,
∴BC=AC=20cm,
(2)由题可知ON=EC=$\frac{1}{2}$AC=10cm,
　
∴NB=ON=10cm,
　　又
∵∠DON=32°,
∴DN=ON·tan∠DON=10×tan32°≈10×0.62=6.2cm,
∴BD=BN−DN=10−6.2=
　　3.8cm.

21.(10分)(2024·上海)如图所示,在矩形$ABCD$中,$E$为边$CD$上一点,且$AE\perp BD$.
　　(1)求证:$AD^{2}=DE\cdot DC$;
　　(2)$F$为线段$AE$延长线上一点,且满足$EF = CF=\frac{1}{2}BD$,求证:$CE = AD$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
　
∴∠BAD=90°,∠ADE=90°,AB=DC,
　
∴∠ABD+∠ADB=90°
　
∵AE⊥BD,
∴∠DAE+∠ADB=90°,
　
∴∠ABD=∠DAE,
　
∵∠BAD=∠ADE=90°,
∴△ADE∽△BAD,
　
∴$\frac{AD}{BA}$=$\frac{DE}{AD}$，
∴AD²=DE·BA,
　
∵AB=DC,
∴AD²=DE·DC;
(2)连接AC,交BD于点O,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
∵四边形ABCD是矩形，
　
∴∠ADE=90°,
　
∴∠DAE+∠AED=90°,
　
∵AE⊥BD,
　
∴∠DAE+∠ADB=90°,
　
∴∠ADB=∠AED,
　
∵∠FEC=∠AED,
　
∴∠ADO=∠FEC,
　
∵四边形ABCD是矩形，
　
∴OA=OD=$\frac{1}{2}$BD,
　
∵EF=CF=$\frac{1}{2}$BD,
　
∴OA=OD=EF=CF,
　
∴∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE,
　
∵∠ADO=∠FEC,
　
∴∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE,
　　在△ODA和△FEC中,
　　$\begin{cases}∠ODA = ∠FEC\\∠OAD = ∠FCE\\OD = FE\end{cases}$
　
∴△ODA≌△FEC(AAS),
　
∴CE=AD.