《2025年初中总复习山东教育出版社数学中考》

11.(2024·冠县一模)如图,在△ABC中,∠ACB=58°,△ABC的内切圆⊙O与AB,AC分别相切于点D,E,连接DE,BO的延长线交DE于点F,则∠BFD=________.

答案： 29° [
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，AC分别相切于点D，E，
∴AD=AE，∠ABF=∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}$(180° - ∠A)，
∴∠BFD=∠ADE - ∠ABF=$\frac{1}{2}$(180° - ∠A)-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(180° - ∠A - ∠ABC)，
∵180° - ∠A - ∠ABC=∠ACB=58°，
∴∠BFD=$\frac{1}{2}$×58°=29°.]

12.(2024·四川凉山)如图,⊙M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作⊙M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为________.

答案：
2$\sqrt{7}$ [记直线y=x+4与x，y轴分别交于点A，K，连接QM，PM，KM.
当x=0时，y=4，当y=0时，即x+4=0，
解得x=-4，
即K(0，4)，A(-4，0)，
而M(4，0)，
∴OA=OK=OM=4，
∴△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，
∴∠AKO=∠MKO=45°，
∴∠AKM=90°.
∵QP与⊙M相切，
∴∠PQM=90°，
∴PQ=$\sqrt{PM^{2}-QM^{2}}$，
∵QM=2，
∴当PQ最小时即PM最小，
∴当PM⊥AK时，取得最小值，
即点P与点K重合，此时PM最小值为KM，
在Rt△OKM中，由勾股定理得KM=$\sqrt{OM^{2}+OK^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴PQ=$\sqrt{32 - 4}$=2$\sqrt{7}$，
∴PQ的最小值为2$\sqrt{7}$.]

13.(10分)(2024·聊城二模)如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,且⌢AD=⌢CD,连接BC并延长与过点D的⊙O的切线相交于点E,连接OD.
(1)证明:OD平分∠ADC;
(2)若DE=4,tanB=$\frac{4}{3}$,求CD的长.

答案：
解:
(1)证明:连接AC交OD于点F，如图，
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴OD⊥AC且AF=CF，AD=DC，
∴OD平分∠ADC.
(2)
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，
由
(1)知，∠CFD=90°，
∴四边形DECF为矩形，
∴CF=DE=4.
∴AC=2CF=8，
∵tan B=$\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}$，
∴BC=$\frac{3}{4}$×8=6，
∴AB=$\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}$=10，
∴OD=5，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴DF=OD - OF=2，
在Rt△CDF中，CD=$\sqrt{2^{2}+4^{2}}$=2$\sqrt{5}$.

14.(12分)(2024·烟台)如图,AB是⊙O的直径,△ABC内接于⊙O,点I为△ABC的内心,连接CI并延长交⊙O于点D,E是⌢BC上任意一点,连接AD,BD,BE,CE.
(1)若∠ABC=25°,求∠CEB的度数;
(2)找出图中所有与DI相等的线段,并证明;
(3)若CI=2$\sqrt{2}$,DI=$\frac{13}{2}$$\sqrt{2}$,求△ABC的周长.

答案：
解:
(1)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
又
∵∠ABC=25°，
∴∠CAB=90° - 25°=65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB+∠CAB=180°，
∴∠CEB=180° - ∠CAB=115°.
(2)DI=AD=BD，证明如下：
连接AI，如图1.
∵点I为△ABC的内心，
∴∠CAI=∠BAI，∠ACI=∠BCI=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，

∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠DAB=∠DCB=∠ACI，AD=BD，
∵∠DAI=∠DAB+∠BAI，∠DIA=∠ACI+∠CAI，
∴∠DAI=∠DIA，
∴DI=AD=BD.
(3)过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q，F，P，如图2.
∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆圆心，

∴Q，F，P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ=AF，CF=CP，BQ=BP，
∵CI=2$\sqrt{2}$，∠IFC=90°，∠ACI=45°，
∴CF=CI·cos 45°=2=CP，
∵DI=AD=BD，DI=$\frac{13}{2}$$\sqrt{2}$，∠ADB=90°，
∴AB=$\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{2}$×$\frac{13}{2}$$\sqrt{2}$=13，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC
=AB+AF+CF+CP+BP
=AB+AQ+BQ+2CF
=2AB+2CF
=2×13+2×2=30.