《2025年初中总复习山东教育出版社数学中考》

22.(12分)(2024·东明县三模)(1)如图1,在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
　　求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE.
　　(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,探究线段DE,AD,BE之间的数量关系,并说明理由.
　　　　　　　　　　　　 　

答案： 解:
(1)①证明:
∵AD⊥MN,BE⊥MN,
　
∴∠ADC=∠ACB=∠CEB=90°,
　
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°,
　
∴∠CAD=∠BCE.
　　在△ADC与△CEB中,
　　$\begin{cases}\angle CAD=\angle BCE\\\angle ADC=\angle CEB\\AC = BC\end{cases}$
　
∴△ADC≌△CEB(AAS).
　　②证明:
∵△ADC≌△CEB,
　
∴CE=AD,CD=BE,
　
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)DE=AD−BE.理由如下:
　
∵AD⊥MN,BE⊥MN,
　
∴∠ADC=∠ACB=∠CEB=90°,
　
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°,
　
∴∠CAD=∠BCE,
　　在△ADC与△CEB中,
　　$\begin{cases}\angle CAD=\angle BCE\\\angle ADC=\angle CEB\\AC = BC\end{cases}$
　
∴△ADC≌△CEB(AAS),
　
∴CE=AD,CD=BE,
　
∴DE=CE−CD=AD−BE.

23.(12分)(2024·泰安)如图1,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,点D,E分别在AB，CB上,DB=EB,连接AE,CD,取AE中点F,连接BF.
　　(1)求证:CD=2BF,CD⊥BF;
　　(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.
　①请直接写出BF与CD的位置关系:________
　②求证:CD=2BF.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)证明:在△ABE和△CBD中,
　
∵AB=BC、∠ABE=∠CBD,BE=BD,
　
∴△ABE≌△CBD(SAS),
　
∴AE=CD,∠FAB=∠BCD.
　
∵F是Rt△ABE斜边AE的中点，
　
∴AE=2BF,
　
∴CD=2BF.
　
∵BF=$\frac{1}{2}$AE=AF,
　
∴∠FAB=∠FBA.
　
∴∠FBA=∠BCD,
　
∵∠FBA+∠FBC=90°,
　
∴∠FBC+∠BCD=90°.
　
∴BF⊥CD.
(2)①BF⊥CD.
　　②证明:延长BF到点G,使FG=BF,连接AG.
　
∵AF=EF,FG=BF,∠AFG=∠EFB,
　
∴△AGF≌△EBF(SAS),
　
∴∠FAG=∠FEB,AG=BE.
　
∴AG//BE.
　
∴∠GAB+∠ABE=180°,
　
∵∠ABC=∠EBD=90°,
　
∴∠ABE+∠DBC=180°,
　
∴∠GAB=∠DBC.
　
∵BE=BD,
　
∴AG=BD.
　　在△AGB和△BDC中,
　
∵AG=BD,∠GAB=∠DBC,AB=CB,
　
∴△AGB≌△BDC(SAS),
　
∴CD=BG.
　
∵BG=2BF,
　
∴CD=2BF,