《2025年初中总复习山东教育出版社数学中考》

7.(2024·滨州)一副三角板如图1摆放,把三角板AOB绕公共顶点O顺时针旋转至图2,即AB//OD时，∠1的大小为______°.

答案： 75　[由已知可得,∠B = 45°,
∵AB//OD,
∴∠B = ∠BOD = 45°,
　由题图可得，∠D = 30°,
∴∠1 = ∠BOD + ∠D = 45° + 30° = 75°,故答案为75.]

8.(2024·内蒙古)如图,点A(0,−2),B(1,0),将线段AB平移得到线段DC,若∠ABC = 90°,BC = 2AB,则点D的坐标是______.

答案：
(4,-4)　[过点D作DE⊥y轴于点E,如图,
∵点A(0,-2),B(1,0),
∴OA = 2,OB = 1.
∵线段AB平移得到线段DC，
∴AB//CD,AB = CD,
　
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC = 90°,
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD = 90°,BC = AD,
∵BC = 2AB,
∴AD = 2AB,
∵∠BAO + ∠DAE = 90°,∠BAO + ∠ABO = 90°,
∴∠ABO = ∠EAD.
∵∠AOB = ∠AED = 90°,
∴△ABO∽△DAE.
∴$\frac{OA}{DE}=\frac{OB}{AE}=\frac{AB}{AD}=\frac{1}{2}$,
∴DE = 2OA = 4,AE = 2OB = 2,
∴OE = OA + AE = 4,
∴D(4,-4).故答案为(4,-4).]

9.(10分)(2024·济宁二模)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,5),B(−2,1),C(−1,3).
(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1,已知点C1的坐标为(4,0),画出△A1B1C1,并写出点A1的坐标;
(2)将△ABC绕着点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2,画出△A2B2C2,并写出点C2的坐标;
(3)求出(2)中点A旋转到点A2所经过的路径长.

答案：
解:
(1)如图,
　　　　　　　　　
∵点C(-1,3)的对应点C₁(4,0),
∴横坐标+5,纵坐标-3,
∴点A₁(-3 + 5,5 - 3),即A₁(2,2).
(2)如图，旋转90°后 点C₂的坐标为(-3,-1).
(3)如图，点A旋转到点A₂所经过的路径是弧长，
　由旋转性质可知,∠AOA₂ = 90°,OA = $\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}$,
∴点A旋转到点A₂所经过的弧长为$\frac{90\pi\times\sqrt{34}}{180}=\frac{\sqrt{34}}{2}\pi$.

10.(2024·天津)如图,△ABC中,∠B = 30°,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E,延长BA交DE于点F,下列结论一定正确的是　(　　　)
[A]∠ACB = ∠ACD　　　　[B]AC//DE
[C]AB = EF　　　　　　　　[D]BF⊥CE

答案：
D　[设BF与CE相交于点H,如图所示:
　
∵△ABC中,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,
　
∴∠BCE = ∠ACD = 60°,
　
∵∠B = 30°,
　
∴在△BHC中,∠BHC = 180° - ∠BCE - ∠B = 90°,
　
∴BF⊥CE,故D选项正确;
　　设∠ACH = x°,
　
∴∠ACB = 60° - x°,
　
∵∠B = 30°,
　
∴∠EDC = ∠BAC = 180° - 30° - (60° - x°)=90° + x°,
　
∴∠EDC + ∠ACD = 90° + x° + 60° = 150° + x°,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
∵x°不一定等于30°,
　
∴∠EDC + ∠ACD不一定等于180°,
　
∴AC//DE不一定成立，故B选项不正确;
　
∵∠ACB = 60° - x°,∠ACD = 60°,x°不一定等于0°,
　
∴∠ACB = ∠ACD不一定成立,故A选项不正确;
　
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,
　
∴AB = ED = EF + FD,
　
∴BA＞EF,故C选项不正确.故选D.]