《2025年学习之友八年级数学下册北师大版》

5.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①$\angle A+\angle B+\angle C = 90^{\circ}+90^{\circ}+\angle C>180^{\circ}$，这与三角形内角和为180°相矛盾，则$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$中有两个角是直角，不妨设$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$.
正确顺序的序号排列为 ____________.

答案： ③①②

6.在等边三角形$ABC$中，$BD$平分$\angle ABC$，延长$BC$到$E$，使$CE = CD$，连接$DE$.
（1）成逸同学说：$BD = DE$，她说得对吗？请你说明道理.
（2）小敏说：把“$BD$平分$\angle ABC$”改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？

答案： 解：
(1) 正确. 理由：
∵△ABC 为等边三角形(已知)
∴∠ABC = ∠ACB = 60°
∵BD 平分∠ABC(已知)
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°
∵CD = CE(已知)
∴∠CDE = ∠E 又
∵∠ACB = ∠CDE + ∠E = 60°
∴∠CDE = ∠E = 30°
∴∠DBE = ∠E = 30°
∴BD = ED
(2) 可以改为：BD ⊥ AC 于点 D 理由：
∵在等边△ABC 中 BD ⊥ AC
∴BD 平分∠ABC
∴∠DBC = 30°
∵∠ACB = 60° CD = CE
∴∠CDE = ∠E = $\frac{1}{2}$∠ACB = 30°
∴∠DBE = ∠E = 30°
∴BD = ED

1.如图，$\angle AOB = 60^{\circ}$，$C$是$BO$延长线上的一点，$OC = 10\ cm$，动点$P$从点$C$出发沿$CB$以2 cm/s的速度移动，动点$Q$从点$O$出发沿$OA$以1 cm/s的速度移动，如果点$P$，$Q$同时出发，用$t(\text{s})$表示移动的时间，当$t = $ ____________ 时，$\triangle POQ$是等腰三角形.

答案： $\frac{10}{3}$s 或 10s

2.用反证法证明：等腰三角形的底角必是锐角.

答案： 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角
∴∠B ≥ 90° ∠C ≥ 90°
∴∠A + ∠B + ∠C > 180° 与“三角形内角和为 180°”相矛盾
∴假设不成立
∴等腰三角形的底角必是锐角.

3.如图，已知锐角$\triangle ABC$的两条高$BE$，$CD$相交于点$O$，且$OB = OC$.
求证：$\triangle ABC$是等腰三角形.

答案： 证明：
∵BE，CD 分别是△ABC 两边上的高(已知)
∴∠BDC = ∠CEB = 90°
∵OB = OC(已知)
∴∠DCB = ∠EBC 在△DBC 和△ECB 中 $\begin{cases}
∠BDC = ∠CEB(已证) \\
∠DCB = ∠EBC(已证) \\
BC = CB(公共边)
\end{cases}$
∴△DBC ≌ △ECB(AAS)
∴∠DBC = ∠ECB
∴△ABC 为等腰三角形.