《2025年学习之友八年级数学下册北师大版》

2. 在$\triangle ABC$中，①$AB = AC$；②$\angle BAD=\angle CAD$；③$BD = CD$；④$AD\perp BC$.请你选择其中两个作为条件，另两个作为结论，证明“三线合一”定理.

答案： 此题答案不唯一例如：①②作条件，③④为结论. 解：$\because AB = AC$（已知） $\therefore\angle B=\angle C$ 在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中 $\begin{cases} \angle BAD=\angle CAD（已知）\\ \angle B=\angle C（已证）\\ AD = AD（公共边） \end{cases}$ $\therefore\triangle ABD\cong\triangle ACD(AAS)$ $\therefore BD = CD$ $\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}$ $\therefore AD\perp BC$ $\therefore$等腰三角形“三线合一”.

3.含$45^{\circ}$角的直角三角尺如图放置在平面直角坐标系中，其中$A(-2,0)$，$B(0,1)$，求点$C$的坐标.

答案： 解：过点$C$作$CD\perp x$轴交于点$D$ $\therefore\angle CDA=\angle AOB = 90^{\circ}$ $\because\triangle ABC$为等腰直角三角形 $\therefore AC = BA$，$\angle CAB = 90^{\circ}$ $\therefore\angle CAD+\angle BAO = 90^{\circ}$ $\because\angle CAD+\angle DCA = 90^{\circ}$ $\therefore\angle DCA=\angle OAB$ 在$\triangle CDA$和$\triangle AOB$中 $\begin{cases} \angle CDA=\angle AOB = 90^{\circ}（已证）\\ \angle DCA=\angle OAB（已证）\\ CA = AB（已证） \end{cases}$ $\therefore\triangle CDA\cong\triangle AOB(AAS)$ $\therefore CD = AO$，$DA = OB$ $\because A(-2,0)$，$B(0,1)$ $\therefore AO = 2$，$OB = 1$ $\therefore CD = 2$，$DA = 1$ $\therefore DO=DA + AO = 3$ $\therefore C(-3,2)$

4.在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 50^{\circ}$，点$D$，$E$，$F$分别在边$AB$，$BC$和$CA$上，且$BD = CE$，$BE = CF$. 求$\angle DEF$的度数.

答案： 解：$\because AB = AC$ $\angle A = 50^{\circ}$（已知） $\therefore\angle B=\angle C$ $=(180^{\circ}-\angle A)\div2$ $=65^{\circ}$ 在$\triangle DBE$和$\triangle ECF$中 $\begin{cases} BD = CE（已知）\\ \angle B=\angle C（已证）\\ BE = CF（已知） \end{cases}$ $\therefore\triangle DBE\cong\triangle ECF(SAS)$ $\therefore\angle DEB=\angle EFC$ 在$\triangle EFC$中，$\angle FEC+\angle EFC+\angle C = 180^{\circ}$ $\therefore\angle FEC+\angle EFC+65^{\circ}=180^{\circ}$ $\therefore\angle FEC+\angle DEB+65^{\circ}=180^{\circ}$ 又$\because\angle DEB+\angle FEC+\angle DEF = 180^{\circ}$ $\therefore\angle DEF = 65^{\circ}$