《2025年学习之友八年级数学下册北师大版》

2.如图，$BE\perp AC$于$E$，$CF\perp AB$于$F$，$BE$，$CF$相交于点$D$，若$BD = CD$，求证：$AD$平分$\angle BAC$.

答案： 证明：
∵ $BE\perp AC$，$CF\perp AB$（已知）
∴ $\angle BFD=\angle CED = 90^{\circ}$ 在 $\triangle BFD$ 和 $\triangle CED$ 中 $\begin{cases} \angle BFD=\angle CED = 90^{\circ}（已证）\\ \angle BDF=\angle CDE（对顶角相等）\\ BD = CD（已知） \end{cases}$
∴ $\triangle BFD\cong\triangle CED(AAS)$
∴ $DF = DE$ 又
∵ $DF\perp AB$，$DE\perp AC$（已知）
∴ $AD$ 平分 $\angle BAC$

3.在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AD$平分$\angle CAB$，交$CB$于点$D$，过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$．
（1）求证：$\triangle ACD\cong\triangle AED$；
（2）若$\angle B = 30^{\circ}$，$CD = 1$，求$BD$的长；
（3）在（2）问基础上，计算$\triangle ABC$的面积.

答案： 证明：
(1)
∵ $AD$ 平分 $\angle CAB$，$DC\perp AC$，$DE\perp AB$（已知）
∴ $DC = DE$ 在 $Rt\triangle ACD$ 和 $Rt\triangle AED$ 中 $\begin{cases} DC = DE（已证）\\ AD = AD（公共边） \end{cases}$
∴ $Rt\triangle ACD\cong Rt\triangle AED(HL)$ 解：
(2)
∵ $CD = 1$（已知）
∴ $CD = ED = 1$ 在 $Rt\triangle DEB$ 中 $\angle B = 30^{\circ}$，$\angle DEB = 90^{\circ}$
∴ $BD = 2DE = 2$
(3) 在 $Rt\triangle ABC$ 中 $\angle B = 30^{\circ}$ 设 $AC$ 为 $x$，则 $AB$ 为 $2x$ $BC = BD + CD = 2 + 1 = 3$ 由勾股定理得 $AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$ $x^{2}+3^{2}=(2x)^{2}$ $9 = 3x^{2}$ $x^{2}=3$ $x=\sqrt{3}$
∴ $AC=\sqrt{3}$
∴ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC$ $=\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\times3$ $=\frac{3\sqrt{3}}{2}$