《2024年学习与评价江苏教育出版社九年级数学上册苏科版》

2. 在圆内接四边形 ABCD 中,$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$、$\angle D$ 的度数之比可能是( ).

A.$1:2:3:4$
B.$4:3:2:1$
C.$4:1:3:2$
D.$4:3:1:2$

答案： D

3. 如图,在 $\odot O$ 的内接四边形 ABCD 中,$AB= AC$,$\angle BAC= 70^{\circ }$. 求 $\angle D$ 的度数.

答案： 解：
∵AB=AC，∠BAC=70°
∴∠B=∠ACB= 55°
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形
∴∠D= 180°-∠B =125°

4. 如图,四边形 ABCD 是 $\odot O$ 的内接四边形,$\angle CBE$ 是它的一个外角.
求证：$\angle CBE= \angle D$. 你能得出一个一般性的结论吗？

答案： 证明：
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形
∴∠D+∠ABC = 180°
∵∠ABC+∠CBE= 180°
∴∠CBE=∠D
一般性的结论：圆内接四边形的任意一个内角的外角和它的对角相等

5. 如图,AD 是 $\triangle ABC$ 的外角 $\angle EAC$ 的平分线,与 $\triangle ABC$ 的外接圆交于点 D.
求证：$DB= DC$.

答案： 证明：
∵ AD平分∠EAC
∴∠EAD=∠CAD
∵A、D、C、B四点共圆
∴∠EAD=∠DCB
∴∠CAD=∠DCB
由圆周角定理得∠CAD=∠CBD
∴∠DCB=∠DBC
∴DB=DC

6. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB= AC$. 以 AC 为直径的 $\odot O$ 交 AB 于点 D,交 BC 于点 E.
(1)求证：$\triangle BDE$ 为等腰三角形；
(2)连接 OB,若 $OB\perp DE$,求证：$\triangle ABC$ 是等边三角形.

答案： (1 )证明：
∵AB= AC
∴∠B =∠C
∵四边形ADEC是圆内接四边形
∴∠BDE=∠C
∴∠BDE=∠B
∴ED =EB，即△BDE为等腰三角形
(2)
∵OB⊥DE，点O为圆心
∴OB垂直平分线段DE
∴BD=BE
∴ED=EB=BD
∴△BDE为等边三角形
∴∠B= 60°
∴△ABC是等边三角形