《2024年学习与评价江苏教育出版社九年级数学上册苏科版》

我们打开收音机的电源开关,调好频率,就能听到某广播电台播出的节目.原理是：广播发射塔发出无线电波,收音机对接收到的无线电波进行处理加工(滤波、放大等),然后通过扬声器发出声音.通常,我们对收音机从接收无线电波到发出声音的中间过程不需要了解,可以将收音机看成一个“黑箱”.这样就得到一个模型：
我们把求解一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的过程看成是一个黑箱模型,输入的量是a、b、c三个系数,而输出的是该方程的两个根$x_{1}和x_{2}$.若a、b、c分别输入1、1、-1,1、2、1,1、1、2三组数,则输出的结果分别是什么？

答案： 解：① 当a=1，b=-3，c=-1时，
$x_1=\frac {3+\sqrt{13}}2，$$x_2=\frac {3-\sqrt{13}}2$
② 当a=1，b=2，c=1时，$x_1=x_2=-1$
③ 当a=1，b=1，c=2时，
此时$b^2-4ac=-7<0，$方程无解

例1 不解方程,判别下列方程根的情况：
(1)$5x^{2}-4x-3= 0$；
(2)$2x^{2}+3= 2\sqrt {6}x$；
(3)$3x^{2}+2x+1= 0$.
解 (1)$\because a= 5$,$b= -4$,$c= -3$,$b^{2}-4ac= (-4)^{2}-4×5×(-3)= 76＞0$,
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)移项,得
$2x^{2}-2\sqrt {6}x+3= 0$.
$\because a= 2$,$b= -2\sqrt {6}$,$c= 3$,$b^{2}-4ac= (-2\sqrt {6})^{2}-4×2×3= 0$,
∴原方程有两个相等的实数根.
(3)$\because a= 3$,$b= 2$,$c= 1$,$b^{2}-4ac= 2^{2}-4×3×1= -8＜0$,
∴原方程没有实数根.
说明 第(2)小题的方程有两个相等的实数根,不能说这个方程只有一个实数根.

答案：

例2 k取什么值时,关于x的方程$4x^{2}-12x+k= 0$有两个相等的实数根？求此时方程的根.
解 $\because$原方程有两个相等的实数根,
$\therefore b^{2}-4ac= 0$.
由$b^{2}-4ac= (-12)^{2}-4×4×k= 144-16k= 0$,得$k= 9$.
$\therefore k= 9$时,原方程有两个相等的实数根.
当$k= 9$时,$x_{1}= x_{2}= \frac {-b}{2a}= \frac {-(-12)}{2×4}= \frac {3}{2}$.

答案：