《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

一般地，二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图像与一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的根有如下关系：
(1)如果二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图像与 $ x $ 轴有两个公共点，那么一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 有两个不相等的实数根，此时 $ b^{2}-4ac $＞ $ 0 $；
(2)如果二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图像与 $ x $ 轴有且只有一个公共点，那么一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 有两个相等的实数根，此时 $ b^{2}-4ac $= $ 0 $；
(3)如果二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图像与 $ x $ 轴没有公共点，那么一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $没有实数根，此时 $ b^{2}-4ac $＜ $ 0 $。

答案：
(1)两个不相等的 ＞
(2)两个相等的 =
(3)没有 ＜

1. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的部分图像如图所示，可知方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的所有解的积为(C)

A.$-4$
B.$4$
C.$-5$
D.$5$

答案： 1. C

2. 二次函数 $ y = -(x - 1)^{2}+4 $ 的图像与 $ x $ 轴交点的坐标为(3,0),(-1,0)，与 $ y $ 轴交点的坐标为(0,3)。

答案： 2. (3,0),(-1,0) (0,3)

3. 已知抛物线 $ y = kx^{2}+4x - 1 $。
(1)若抛物线与 $ x $ 轴有两个交点，求 $ k $ 的取值范围；
(2)若抛物线与 $ x $ 轴有唯一的交点，求 $ k $ 的取值范围；
(3)若抛物线与 $ x $ 轴没有交点，求 $ k $ 的取值范围。

答案： 3. 解:
(1)
∵抛物线 y = kx² + 4x - 1 与 x 轴有两个交点,
∴b² - 4ac ＞ 0 且 k ≠ 0,即 16 + 4k ＞ 0 且 k ≠ 0,
解得 k ＞ -4 且 k ≠ 0.
(2)
∵抛物线 y = kx² + 4x - 1 与 x 轴有唯一的交点,
∴b² - 4ac = 0 且 k ≠ 0,
即 16 + 4k = 0 且 k ≠ 0,解得 k = -4.
(3)
∵抛物线 y = kx² + 4x - 1 与 x 轴没有交点,
∴b² - 4ac ＜ 0 且 k ≠ 0,
即 16 + 4k ＜ 0 且 k ≠ 0,解得 k ＜ -4.

4. (1)已知抛物线 $ y = x^{2}-4x + 3 $ 与 $ x $ 轴的交点分别为 $ A $，$ B $，求 $ AB $ 的长；
(2)已知抛物线 $ y = x^{2}-4x + m - 2 $ 与 $ x $ 轴的交点分别为 $ A $，$ B $，且 $ AB = 6 $，求 $ m $ 的值。

答案： 4. 解:
(1)当 y = 0 时,x² - 4x + 3 = 0,即(x - 3)(x - 1) = 0,
解得 x₁ = 3,x₂ = 1,
∴AB = 3 - 1 = 2.
(2)
∵抛物线的对称轴为直线 x = 2,AB = 6,
∴抛物线与
x 轴的两个交点的坐标分别为(-1,0)和(5,0),
∴抛物线的函数表达式为 y = (x + 1)(x - 5),
即 y = x² - 4x - 5,
∴m - 2 = -5,解得 m = -3.