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线段 $ AB $ 上有一个点 $ C $ 将线段 $ AB $ 分成较长的 $ AC $ 和较短的 $ BC $ 两个部分. 如果 $ AC $，$ BC $，$ AB $ 满足
$\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AB}$
的条件，那么称线段 $ AB $ 被点 $ C $ 黄金分割
，$ C $ 为线段 $ AB $ 的 黄金分割点
. 此时，$AC$
与 $AB$
(或 $BC$
与 $AC$
)的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
，约为 $ 0.618 $，这个比值称为 黄金比
.
答案：
$\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AB}$ 黄金分割 黄金分割点 AC AB BC AC $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 黄金比
1. 如果 $ C $ 是线段 $ AB $ 的黄金分割点(且 $ BC＞AC $)，那么下列结论错误的为(
A.$ \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} $
B.$ BC $ 是 $ AC $ 和 $ AB $ 的比例中项
C.$ \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} $
D.$ \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} $
C
)A.$ \dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} $
B.$ BC $ 是 $ AC $ 和 $ AB $ 的比例中项
C.$ \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} $
D.$ \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} $
答案：
1. C
2. 一条线段的黄金分割点有(
A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.无数个
B
)A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.无数个
答案：
2. B
3.(2024·常州期中)鹦鹉螺是一类古老的软体动物. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工. 如图，$ P $ 是 $ AB $ 的黄金分割点($ AP＞BP $)，若线段 $ AB $ 的长为 $ 10 \mathrm{~cm} $，则 $ BP $ 的长为
$(15 - 5\sqrt{5})$
$ \mathrm{cm} $.(结果保留根号)
答案：
$3. (15 - 5\sqrt{5})$
4. 如图，以矩形 $ ABCD $ 的宽为边作正方形 $ AEFD $，若矩形 $ EBCF $ 的宽与长的比值等于矩形 $ ABCD $ 的宽与长的比值，则将矩形 $ ABCD $ 称为“黄金矩形”. 若矩形 $ ABCD $ 为黄金矩形，且 $ AD=2 $，求 $ BE $ 的长.
答案：
4. 解：
∵四边形 AEFD 是正方形，
∴AE = AD = 2.
∵矩形 ABCD 为黄金矩形，
∴$\frac{BE}{AD} = \frac{AD}{AB}$，即$\frac{BE}{2} = \frac{2}{2 + BE}$，
解得 BE = $\sqrt{5} - 1$.
∵四边形 AEFD 是正方形，
∴AE = AD = 2.
∵矩形 ABCD 为黄金矩形，
∴$\frac{BE}{AD} = \frac{AD}{AB}$，即$\frac{BE}{2} = \frac{2}{2 + BE}$，
解得 BE = $\sqrt{5} - 1$.
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