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1. 用二次函数解决实际问题的步骤：(1)分析实际问题中的变量之间的
2. 注意实际问题中自变量的
等量
关系；(2)将实际问题转化为二次函数
问题；(3)求出二次函数的表达式
；(4)求出实际问题的解；(5)检验，写出答案。2. 注意实际问题中自变量的
取值范围
。
答案：
1.
(1)等量
(2)二次函数
(3)表达式
2. 取值范围
(1)等量
(2)二次函数
(3)表达式
2. 取值范围
1. 某种商品每件的进价为 20 元，在某段时间内若以每件 x 元出售，可卖出(100 - x)件，获得的利润是 y 元。
(1)写出 y 与 x 之间的函数表达式；
(2)应如何定价才能使利润最大？最大利润是多少元？
(1)写出 y 与 x 之间的函数表达式；
(2)应如何定价才能使利润最大？最大利润是多少元？
答案：
解:
(1)由题意,得 $ y=(x - 20)(100 - x)=-x^{2}+120x - 2000 $.
(2)由题意,得
$ y=-x^{2}+120x - 2000=-(x - 60)^{2}+1600 $,
当 $ x = 60 $ 时,函数有最大值 1600.
答:当定价为 60 元/件时,利润最大,为 1600 元.
(1)由题意,得 $ y=(x - 20)(100 - x)=-x^{2}+120x - 2000 $.
(2)由题意,得
$ y=-x^{2}+120x - 2000=-(x - 60)^{2}+1600 $,
当 $ x = 60 $ 时,函数有最大值 1600.
答:当定价为 60 元/件时,利润最大,为 1600 元.
2. 某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙 MN 外开辟一块长方形的土地进行绿化，如图，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏 50 米。
(1)不考虑墙体 MN 的长度，问长方形 ABCD 各边的长为多少米时，其面积最大？
(2)若墙体长度为 20 米，问长方形 ABCD 的面积最大是多少平方米？
(1)不考虑墙体 MN 的长度，问长方形 ABCD 各边的长为多少米时，其面积最大？
(2)若墙体长度为 20 米，问长方形 ABCD 的面积最大是多少平方米？
答案：
解:
(1)设长方形 $ ABCD $ 的面积为 $ y $ 平方米,$ AB = x $ 米,
则 $ BC=(50 - 2x) $ 米,
由题意,得 $ y = x(50 - 2x) $,即 $ y=-2x^{2}+50x $.
当 $ x=\frac{25}{2} $ 时,$ y $ 取得最大值,$ y_{最大值}=\frac{625}{2} $,
$ BC=50 - 2×\frac{25}{2}=25 $(米).
答:当 $ AB = CD=\frac{25}{2} $ 米,$ BC = AD = 25 $ 米时,长方形 $ ABCD $ 的面积最大,是 $ \frac{625}{2} $ 平方米.
(2)若墙体长度是 20 米,则 $ BC≤20 $ 米,$ AB≥15 $ 米,
在函数 $ y=-2x^{2}+50x $ 中,$ a=-2＜0 $,
当 $ x＞\frac{25}{2} $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,
所以当 $ x = 15 $ 时,$ y $ 取得最大值,$ y_{最大值}=300 $.
答:长方形 $ ABCD $ 的面积最大为 300 平方米.
(1)设长方形 $ ABCD $ 的面积为 $ y $ 平方米,$ AB = x $ 米,
则 $ BC=(50 - 2x) $ 米,
由题意,得 $ y = x(50 - 2x) $,即 $ y=-2x^{2}+50x $.
当 $ x=\frac{25}{2} $ 时,$ y $ 取得最大值,$ y_{最大值}=\frac{625}{2} $,
$ BC=50 - 2×\frac{25}{2}=25 $(米).
答:当 $ AB = CD=\frac{25}{2} $ 米,$ BC = AD = 25 $ 米时,长方形 $ ABCD $ 的面积最大,是 $ \frac{625}{2} $ 平方米.
(2)若墙体长度是 20 米,则 $ BC≤20 $ 米,$ AB≥15 $ 米,
在函数 $ y=-2x^{2}+50x $ 中,$ a=-2＜0 $,
当 $ x＞\frac{25}{2} $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,
所以当 $ x = 15 $ 时,$ y $ 取得最大值,$ y_{最大值}=300 $.
答:长方形 $ ABCD $ 的面积最大为 300 平方米.
3. 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，AB = 12 mm，BC = 24 mm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 mm/s 的速度移动(不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 mm/s 的速度移动(不与点 C 重合)。如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，那么经过多少秒，四边形 APQC 的面积最小？
答案：
解:设经过 $ x $ s,四边形 $ APQC $ 的面积最小.
由题意,得 $ AP = 2x $ mm,$ BQ = 4x $ mm,
则 $ PB=(12 - 2x) $ mm,$ △ PBQ $ 的面积为 $ \frac{1}{2}PB· BQ=\frac{1}{2}×(12 - 2x)×4x=-4(x - 3)^{2}+36 $,
当 $ x = 3 $ 时,$ △ PBQ $ 的面积最大,
此时四边形 $ APQC $ 的面积最小.
即经过 3s,四边形 $ APQC $ 的面积最小.
由题意,得 $ AP = 2x $ mm,$ BQ = 4x $ mm,
则 $ PB=(12 - 2x) $ mm,$ △ PBQ $ 的面积为 $ \frac{1}{2}PB· BQ=\frac{1}{2}×(12 - 2x)×4x=-4(x - 3)^{2}+36 $,
当 $ x = 3 $ 时,$ △ PBQ $ 的面积最大,
此时四边形 $ APQC $ 的面积最小.
即经过 3s,四边形 $ APQC $ 的面积最小.
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