《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

例 7 (1) [教材改编 P97 练习 B T4] (2025·福建省三明市期中)
已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(2,\sigma^2),P(X\lt1.9)=0.1$，则 $P(X\lt2.1)=$(D)
A.$0.1$
B.$0.4$
C.$0.5$
D.$0.9$

答案： D
(1) 由 $X\sim N(2,\sigma^2)$ 可知，其正态曲线的对称轴为直线 $x = 2$，则 $P(X\lt1.9)=P(X\gt2.1)=0.1$，所以 $P(X\lt2.1)=1 - P(X\gt2.1)=1 - 0.1 = 0.9$.

(2) [教材改编 P97 练习 A T4] (2025·重庆市朝阳中学月考)
若随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N(0,1)$，已知 $P(\xi\lt - 1.96)=0.025$，则 $P(|\xi|\lt1.96)=$(C)
A.$0.025$
B.$0.050$
C.$0.950$
D.$0.975$

答案：
C
(2) 由随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N(0,1)$，得 $P(\xi\lt1.96)=1 - P(\xi\geqslant1.96)=1 - P(\xi\leqslant - 1.96)$，所以 $P(|\xi|\lt1.96)=P( - 1.96\lt\xi\lt1.96)=P(\xi\lt1.96)-P(\xi\leqslant - 1.96)=1 - 2P(\xi\leqslant - 1.96)=1 - 2P(\xi\lt - 1.96)=1 - 2×0.025 = 0.950$.

例 8
设 $X\sim N(1,4)$，试求：
(1) $P( - 1\lt X\leqslant3)$；
(2) $P( - 1\lt X\leqslant1)$；
(3) $P(3\lt X\leqslant5)$.

答案： 解析 易知 $X\sim N(1,2^2)$，$\therefore\mu = 1,\sigma = 2$.
(1) $P( - 1\lt X\leqslant3)=P(1 - 2\lt X\leqslant1 + 2)=P(\mu - \sigma\lt X\leqslant\mu + \sigma)\approx0.683$.
(2) 由该正态曲线关于直线 $x = 1$ 对称，结合图象可知 $P( - 1\lt X\leqslant1)=\frac{1}{2}P( - 1\lt X\leqslant3)\approx\frac{1}{2}×0.683 = 0.3415$.
(3) $P(3\lt X\leqslant5)=P( - 3\lt X\leqslant - 1)$，
$\therefore P(3\lt X\leqslant5)=\frac{1}{2}[P( - 3\lt X\leqslant5)-P( - 1\lt X\leqslant3)]=\frac{1}{2}[P(1 - 4\lt X\leqslant1 + 4)-P(1 - 2\lt X\leqslant1 + 2)]=\frac{1}{2}[P(\mu - 2\sigma\lt X\leqslant\mu + 2\sigma)-P(\mu - \sigma\lt X\leqslant\mu + \sigma)]\approx\frac{1}{2}×(0.954 - 0.683)=0.1355$.