《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

例12 若$(\sqrt {x}+\sqrt [4]{\frac {1}{x^{3}}})^{n}$的展开式中没有比第10项的二项式系数更大的项,求第5项.

答案： 解析▶依题意,$(\sqrt {x}+\sqrt [4]{\frac {1}{x^{3}}})^{n}$的展开式的第$k+1$项为$T_{k+1}=C_{n}^{k}(\sqrt {x})^{n-k}(\sqrt [4]{\frac {1}{x^{3}}})^{k}$,当n为偶数时,只有第10项的二项式系数最大,即$\frac {n}{2}+1=10$,则$n=18$,此时$T_{5}=C_{18}^{4}(\sqrt {x})^{18-4}· (\sqrt [4]{\frac {1}{x^{3}}})^{4}=3060x^{4}.$当n为奇数时,第10,11项的二项式系数最大或第9,10项的二项式系数最大,即$\frac {n+1}{2}=10$或$\frac {n+1}{2}=9$,解得$n=19$或$n=17.$当$n=19$时,$T_{5}=C_{19}^{4}(\sqrt {x})^{19-4}(\sqrt [4]{\frac {1}{x^{3}}})^{4}=3876x^{\frac {9}{2}};$当$n=17$时,$T_{5}=C_{17}^{4}(\sqrt {x})^{17-4}(\sqrt [4]{\frac {1}{x^{3}}})^{4}=2380x^{\frac {7}{2}}.$综上,当$n=18$时,第5项为$3060x^{4}$;当$n=19$时,第5项为$3876x^{\frac {9}{2}}$;当$n=17$时,第5项为$2380x^{\frac {7}{2}}.$

例13 (2025·河北省衡水市期中)若$(\sqrt {x}-\frac {1}{2\sqrt [3]{x}})^{n}$的展开式中的第3项与第4项的二项式系数相等且最大,则展开式中的常数项为()

A.6
B.-6
C.$-\frac {5}{4}$
D.$\frac {5}{4}$

答案： 解析▶由题意可得$C_{n}^{2}=C_{n}^{3},\therefore n=5$,故$(\sqrt {x}-\frac {1}{2\sqrt [3]{x}})^{5}$的展开式的通项为$T_{k+1}=C_{5}^{k}· x^{\frac {5-k}{2}}· (-\frac {1}{2})^{k}· x^{-\frac {k}{3}}=(-\frac {1}{2})^{k}· C_{5}^{k}· x^{\frac {15-5k}{6}}.$令$\frac {15-5k}{6}=0$,解得$k=3$,故展开式中的常数项为$(-\frac {1}{2})^{3}×C_{5}^{3}=-\frac {5}{4}.$
答案▶C

5.(2025·福建省福州市期末)若二项式$(x-\frac {2}{\sqrt {x}})^{n}$的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中含$x^{2}$项的系数为1120.

答案： 5.1120 由题意可得 $n = 8$，$\therefore(x-\frac{2}{\sqrt{x}})^n$ 的展开式的第 $k + 1$ 项
$T_{k + 1}=C_{8}^{k}x^{8 - k}(-\frac{2}{\sqrt{x}})^{k}=(-2)^{k}C_{8}^{k}x^{8 - \frac{3k}{2}}$，令 $8-\frac{3}{2}k = 2$，得 $k = 4$，故

例14 在$(\sqrt {x}-\frac {2}{x^{2}})^{8}$的展开式中:
(1)系数绝对值最大的项是第几项?
(2)求系数最大的项.
(3)求系数最小的项.

答案： 解析▶展开式的第$k+1$项为$T_{k+1}=C_{8}^{k}· (\sqrt {x})^{8-k}· (-\frac {2}{x^{2}})^{k}=(-1)^{k}· C_{8}^{k}· 2^{k}· x^{4-\frac {5k}{2}}.$
(1)设第$k+1$项系数的绝对值最大,则$\left\{\begin{array}{l} C_{8}^{k}· 2^{k}≥C_{8}^{k+1}· 2^{k+1},\\ C_{8}^{k}· 2^{k}≥C_{8}^{k-1}· 2^{k-1},\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l} \frac {1}{8-k}≥\frac {2}{k+1},\\ \frac {2}{k}≥\frac {1}{9-k},\end{array}\right.$解得$5≤k≤6$,即$k=5,6.$故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.
(2)方法1 由于展开式中各项的系数正负相间,因此系数最大的项必是奇数项.设展开式中第$k+1$(k为偶数)项的系数最大,则$\left\{\begin{array}{l} C_{8}^{k}· 2^{k}≥C_{8}^{k-2}· 2^{k-2},\\ C_{8}^{k}· 2^{k}≥C_{8}^{k+2}· 2^{k+2},\end{array}\right.$解得$\frac {21-\sqrt {145}}{2}≤k≤\frac {25-\sqrt {145}}{2},$则$k=6$,故展开式中系数最大的项为$T_{7}=C_{8}^{6}· 2^{6}· x^{-11}=1792x^{-11}.$
方法2 由
(1)知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,而第6项的系数为负,第7项的系数为正,故系数最大的项为$T_{7}=C_{8}^{6}· 2^{6}· x^{-11}=1792x^{-11}.$
(3)方法1 由于展开式中各项的系数正负相间,因此系数最小的项必是偶数项.设展开式中第$k+1$(k为奇数)项的系数最小,则$\left\{\begin{array}{l} C_{8}^{k}· 2^{k}≥C_{8}^{k-2}· 2^{k-2},\\ C_{8}^{k}· 2^{k}≥C_{8}^{k+2}· 2^{k+2},\end{array}\right.$解得$\frac {21-\sqrt {145}}{2}≤k≤\frac {25-\sqrt {145}}{2},$则$k=5$,故展开式中系数最小的项为$T_{6}=(-1)^{5}C_{8}^{5}· 2^{5}· x^{-\frac {17}{2}}=-1792x^{-\frac {17}{2}}.$
方法2 由
(1)知展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,且第6项的系数为负,第7项的系数为正,故系数最小的项为$T_{6}=(-1)^{5}C_{8}^{5}· 2^{5}· x^{-\frac {17}{2}}=-1792x^{-\frac {17}{2}}.$