《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

例 2 - 3（2025·陕西省咸阳市期中）某学校高二年级（1）班、（2）班、（3）班分别有$7$，$9$，$10$人参加技能兴趣选拔赛。
（1）如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？
（2）如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？

答案： 解析 （1）每班选一人当组长为一类，所以共三类。由分类加法计数原理，得不同的选法一共有$7 + 9 + 10 = 26$（种）。
（2）每班选一名副组长为一步，所以共有三步。由分步乘法计数原理，得不同的选法有$7×9×10 = 630$（种）。

例 4 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是(B)

A.$18$
B.$36$
C.$72$
D.$48$

答案： 解析 方法 1(按十位上的数字分类) 按十位上的数字分别是$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，$7$，$8$分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有$8$个、$7$个、$6$个、$5$个、$4$个、$3$个、$2$个、$1$个。
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数是$8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36$。
方法 2(按个位上的数字分类) 按个位上的数字分别是$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，$7$，$8$，$9$分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有$1$个、$2$个、$3$个、$4$个、$5$个、$6$个、$7$个、$8$个。
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数是$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$。
答案 B

例 5(2025·湖北省黄冈市期末)椭圆$\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$的焦点在$y$轴上，离心率大于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$m ∈ \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$n ∈ \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$，则满足题意的椭圆的个数为16。

答案：
解析 要使椭圆的焦点在$y$轴上，需$m ＜ n$。
因为离心率$e = \frac{c}{a} ＞ \frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$e^{2} = \frac{c^{2}}{a^{2}} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}} = 1 - \frac{m}{n} ＞ \frac{1}{2}$，即$n ＞ 2m$。
方法 1(列举法) 当$m = 1$时，$n = 3$，$4$，$5$，$6$，$7$，$8$，$9$，满足题意的椭圆有$7$个；
当$m = 2$时，$n = 5$，$6$，$7$，$8$，$9$，满足题意的椭圆有$5$个；
当$m = 3$时，$n = 7$，$8$，$9$，满足题意的椭圆有$3$个；
当$m = 4$时，$n = 9$，满足题意的椭圆有$1$个。
故满足题意的椭圆的个数为$7 + 5 + 3 + 1 = 16$。
方法 2(树状图法) 若先确定$n$的值，则$m$的可能取值情况为：

故满足题意的椭圆的个数为$1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16$。
答案 $16$