《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

例16 七个人排成一排，甲、乙之间有且只有两人，共有种排法.

答案： 解析 ▶从甲、乙之外的5人中选2人排甲、乙之间，有$A_5^2$种排法，甲、乙可以交换位置，故有$A_2^2$种排法，把该4人当成一个整体，再加上另外3人，相当于4人的全排列，即$A_4^4$种排法，则共有$A_5^2A_2^2A_4^4 = 960$(种)排法.
答案 ▶960

例17 把3男2女5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为.

答案： 解析 ▶把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有$C_5^2A_2^2$种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有$(C_3^2 + 1)$种，故不同的分配方案种数为$C_5^2A_2^2 - (C_3^2 + 1) = 16$.
答案 ▶16

例18 8人站成一排，要调换其中3人的位置使其均不在原来的位置上，其余5人的位置不动，则不同的调换方法共有种.

答案：
解析 ▶理解3人换位的意义，运用先选后排的思想，注意3个不同的对象不在原来位置的问题是特殊的有限制条件的排列，用列举法完成.
先选3人，有$C_8^3$种方法；
然后3人(不妨设为$a$，$b$，$c$)交换位置，只有2种方法，
故不同的调换方法共有$2C_8^3 = 112$(种).
答案 ▶112

例19 某城市有3个演习点同时进行消防演习，现将5个消防队分配到这3个演习点，若每个演习点至少安排1个消防队，则不同的分配方案种数为()
A.150
B.240
C.360
D.540

答案： 解析 ▶由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3,1,2,2两类方法.
(1)分组为1,1,3，共有$\frac{C_5^1C_4^1C_3^3}{A_2^2} = 10$(种)不同的分组方法；(有两组是平均分组的)
(2)分组为1,2,2，共有$\frac{C_5^1C_4^2C_2^2}{A_2^2} = 15$(种)不同的分组方法.
所以分配到3个演习点，共有$(10 + 15) × A_3^3 = 150$(种)不同的分配方案.
答案 ▶A

例20 有10名演员，其中8人会唱歌，5人会跳舞，现要表演一个2人唱歌2人伴舞的节目，则不同的选派方法共有种.

答案： 解析 ▶由题意，易知10名演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，3人为全能演员.(多面手问题)
以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究：
①只会唱歌的5人中没有人选上唱歌人员，有$C_3^2C_3^2$种选派方法；
②只会唱歌的5人中只有1人选上唱歌人员，有$C_5^1C_3^1C_3^2$种选派方法；
③只会唱歌的5人中有2人选上唱歌人员，有$C_5^2C_3^2$种选派方法.
由分类加法计数原理知，选派方法共有$C_3^2C_3^2 + C_5^1C_3^1C_3^2 + C_5^2C_3^2 = 199$(种).
答案 ▶199