《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

例20 (2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有()
A.$C_{400}^{45}· C_{200}^{15}$种
B.$C_{400}^{40}· C_{200}^{20}$种
C.$C_{300}^{40}· C_{200}^{20}$种
D.$C_{400}^{40}· C_{200}^{20}$种

答案： 解析 由题意，初中部和高中部学生人数之比为$\frac{400}{200}=\frac{2}{1}$，所以抽取的60名学生中初中部应有$60× \frac{2}{3}=40$(人)，高中部应有$60× \frac{1}{3}=20$(人)，所以不同的抽样结果共有$C_{400}^{40}· C_{200}^{20}$种，故选D.
答案 D

例21 (2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名. 从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 解析 从4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的情况数为$C_{4}^{2}=6$，其中这2名学生来自不同年级的情况数为$C_{2}^{1}C_{2}^{1}=4$，所以这2名学生来自不同年级的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，故选D.
答案 D

例22 （2022·新高考全国Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 解析 从7个整数中随机取2个不同的数，共有$C_{7}^{2}=21$（种）取法，取得的2个数互质的情况有$\{2,3\}$，$\{2,5\}$，$\{2,7\}$，$\{3,4\}$，$\{3,5\}$，$\{3,7\}$，$\{3,8\}$，$\{4,5\}$，$\{4,7\}$，$\{5,6\}$，$\{5,7\}$，$\{5,8\}$，$\{6,7\}$，$\{7,8\}$，共14种，根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为$\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$.
答案 D

我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如$30=7+23$. 在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）
A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{14}$
C.$\frac{1}{15}$
D.$\frac{1}{18}$

答案： 解析
不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，从中随机选取两个不同的数有 $ C_{10}^2 $ 种不同的取法，这 10 个数中两个不同的数的和等于 30 的有 3 对，所以所求概率 $ P = \frac{3}{C_{10}^2} = \frac{1}{15} $。
答案 C

例23 (2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为______.

答案：
解析 从正方体的8个顶点中任选4个，取法有$C_{8}^{4}=70$（种）. 其中4个点共面有以下两种情况：
（1）所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图3.1.3-4（1），有6种取法；
（2）所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图3.1.3-4（2），也有6种取法.
所以所取的4个点在同一个平面的概率$P=\frac{12}{70}=\frac{6}{35}$.
答案 $\frac{6}{35}$