《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

1. (2025·天津市第九中学月考)解$1$道数学题，有三种方法，有$3$个人只会用第一种方法，有$4$个人只会用第二种方法，有$3$个人只会用第三种方法，从这$10$个人中选$1$个人解这道题目，则不同的选法共有(A)

A.$10$种
B.$21$种
C.$24$种
D.$36$种

答案： 1.A 根据分类加法计数原理得，从10个人中选1个人解这道题目，不同的选法共有3+4+3=10(种).

2. 设$a$，$b$，$c ∈ \{1, 2, 3, 4\}$，若以$a$，$b$，$c$为三条边的长构成一个等腰三角形，则这样的三角形有12个。

答案： 2.12 方法1 设a,b是腰长，根据腰长分四类：
第1类，当a=b=1时，c＜a+b=2,(两边之和大于第三边)则c=1;
第2类，当a=b=2时，c＜a+b=4,则c=1,2,3;
第3类，当a=b=3时，c＜a+b=6,则c=1,2,3,4;
第4类，当a=b=4时，c＜a+b=8,则c=1,2,3,4.
因此符合条件的三角形的个数为1+3+4+4=12.
方法2 设c为底边长，根据底边长分四类：
第1类，当c=1时，c＜a+b,则a=b=1,2,3,4;
第2类，当c=2时，c＜a+b,则a=b=2,3,4;
第3类，当c=3时，c＜a+b,则a=b=2,3,4;
第4类，当c=4时，c＜a+b,则a=b=3,4.
因此符合条件的三角形的个数为4+3+3+2=12.

例 6 [教材改编 P24 T7](2025·上海市闵行区期中)将$5$封不同的信分别投入$4$个信箱中，则不同的投送方式的种数为(A)
A.$4^{5}$
B.$5^{4}$
C.$120$
D.$24$

答案： 解析 完成“$5$封信放信箱中”这件事需分五步，每步放一封信，放每封信时都有$4$个信箱可选，即每封信都有$4$种不同放法，根据分步乘法计数原理，不同的投送方式有$4×4×4×4×4 = 4^{5}$(种)。(若本题采用分类的解法，则过程太过复杂)
答案 A

3. (2025·黑龙江省绥化市第二中学期中)$3$个班分别从$4$个景点中选择一处游览，不同选法的种数为(C)

A.$4$
B.$24$
C.$4^{3}$
D.$3^{4}$

答案： 3.C 第一个班有4种选择，第二个班有4种选择，第三个班有4种选择，由分步乘法计数原理可知，不同选法的种数是$4^{3}.$

例 7 [教材改编 P6 例 2](1)用数字$7$，$8$，$9$可以组成多少个三位数？
(2)用数字$7$，$8$，$9$可以组成多少个没有重复数字的三位数？

答案：
(1) $27$个
(2) $6$个
解析 以个位数字，十位数字，百位数字的顺序分三步。
(1)第一步：确定个位数字，$7$，$8$，$9$三个数字都可以选择，有$3$种选法。
第二步：确定十位数字，$7$，$8$，$9$三个数字都可以选择，有$3$种选法。
第三步：确定百位数字，$7$，$8$，$9$三个数字都可以选择，有$3$种选法。
根据分步乘法计数原理，可以组成的三位数有$3×3×3 = 27$(个)。
(2)第一步：确定个位数字，$7$，$8$，$9$三个数字都可以选择，有$3$种选法。
第二步：确定十位数字，第一步选过的数字不能选择，因此有$2$种选法。
第三步：确定百位数字，只有$1$种选法。
根据分步乘法计数原理，可以组成的没有重复数字的三位数有$3×2×1 = 6$(个)。