《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

例11 5个小朋友站成一圈，不同的站法一共有()

A.120种
B.60种
C.30种
D.24种

答案： 解析 ▶为了更方便地说明这个问题，我们先将5个小朋友编为1~5号，然后让他们按1~5的顺序站成一圈，这样就形成了一个圆排列.
分别以1,2,3,4,5号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到5种排列：12345，23451，34512，45123，51234. 这就是说，这个圆排列对应了5个排列.
因此，要求圆排列数，只需要求出全排列数再除以5就可以了，
即这些小朋友不同的站法一共有$\frac{A_5^5}{5} = A_4^4 = 24$(种).
答案 ▶D
名师点评 ▶上述问题就是圆排列问题，将人数扩展到$n$，我们就有：$n$个人站成一圈，不同的站法一共有$\frac{A_n^n}{n} = A_{n - 1}^{n - 1} = (n - 1)!$(种).

例12 5个女孩与6个男孩围成一圈，任意两个女孩中间至少站一个男孩，则不同排法有种(填数字).

答案： 解析 ▶[方法1] 因为任意两个女孩中间至少站一个男孩，故有且仅有两个男孩站在一起.
先把5个女孩排成一个圈，这是一个圆形排列，因此排法共有$\frac{5!}{5} = (5 - 1)! = 4!$(种)；
然后把6个男孩排成一排，共有6!种排法；
最后在排好的男孩中选择两个相邻的男孩组合在一起，共有5种排法，这样男孩被分成5组，分别站在每两个女孩中间.
综上，不同的排法共有$4! × 6! × 5 = 86400$(种).
[方法2] “环状排列，化环为直”，经旋转可重合的排队应认为是同一种排法，故可考虑让某个女孩$A$固定不动，将圆圈按顺时针的方向拉成一直排，以$a$，$b$分别表示剩下的女孩与男孩.
先从6个男孩中选5个与5个女孩组成1组“$Ab$”和4组“$ab$”，共有$6 × A_5^5$种排法；
再把剩下的1个男孩与除“$Ab$”外的4组“$ab$”视为5组进行排列，有$A_5^5$种排法.
因此，不同的排法有$6 × A_5^5 × A_5^5 = 86400$(种).
答案 ▶86400

例13 将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空(每盒至少装1个小球)，则不同的装法有种.

答案：
解析 ▶将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空中任取2个画上竖线，这样就将10个小球分成了3组.
将每组小球按顺序装入3个盒子中，则画竖线的方法数就等于题中所求的装法数，故满足题意的装法共有$C_9^2 = 36$(种).
答案 ▶36
(2)要求每盒分别有$n_1$，$n_2$，$·s$，$n_m$个

例14 将20个相同的小球全部放入编号为3,4,5的三个盒子中，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，则不同的放法种数为.

答案： 解析 ▶首先在三个盒子中依次放入2,3,4个球，再将剩余的11个球排成一排，在其两两之间的10个空中任取2个插入隔板，将球分成3组，分到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.
于是不同的放法共有$C_{10}^2 = 45$(种).
答案 ▶45
(3)要求每盒可空

例15 将8个相同的小球分别放入4个不同的盒子中，每盒可空，则不同的放法有种(填数字).

答案： 解析 ▶首先设想在每个盒子中放入 - 1个小球，共用去 - 4个小球，剩余的小球个数为$8 - (-4) = 12$；
再将这12个小球排成一排，在其两两之间的11个空中任取3个插入隔板，将球分成4组，分到4个盒子中，即能满足题目要求.
所以放法种数为$C_{11}^3 = 165$.
答案 ▶165
名师点评 ▶实际上，本题等价于“将12个相同的小球分别装到4个不同的盒子中，每盒至少装1个”的问题.