《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

6. (2025·浙江省舟山市期末)甲、乙、丙、丁、戊五位同学课间玩“击鼓传花”游戏。第$1$次由甲传给乙、丙、丁、戊四人中的任意一人，第$2$次由持花者传给另外四人中的任意一人，往后依此类推，经过$4$次传花，花仍回到甲手中，则传法总数为(C)

A.$36$
B.$48$
C.$52$
D.$64$

答案： 6.C 次由持花者传给另外四人中的任意一人，经过4次传花，花仍回到甲手中，
所以第1次传花有4种方法，
第2次传花分成“在甲手中”和“不在甲手中”两类，
第3次传花，花也不一定在甲手中，
第4次传花，花只能在甲手中.
所以当第2次传花后花在甲手中时，则第3次传花，花可能在丙或乙或丁手中，共4种方法;
当第2次传花后花不在甲手中时，有3种方法，则第3次传花有3种方法.
所以经过4次传花，花仍回到甲的传法总数为4×(1×4+3×3)=52,
故选C.

例 10 [教材改编 P25 T3] 如图 3.1.1 - 8，一个正六边形分为$6$个区域$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$，现给这$6$个区域着色，要求同一区域着同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一颜色，现有红、黄、蓝、绿四种颜色可供选择，且$A$必须涂红色，有183种不同的着色方法。

答案： 解析 考虑$A$，$C$，$E$用同一颜色，此时不同的着色方法共有$1×3×3×3 = 27$(种)。
考虑$A$，$C$，$E$用$2$种颜色，此时不同的着色方法共有$1×3×3×2×3×2 = 108$(种)。
考虑$A$，$C$，$E$用$3$种颜色，此时不同的着色方法共有$3×2×2×2×2 = 48$(种)。
故不同的着色方法共有$27 + 108 + 48 = 183$(种)。
答案 $183$

子题
如图 3.1.1 - 9，将四棱锥$S - ABCD$的每一个顶点染上$1$种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色。如果只有$5$种颜色可供使用，则不同的着色方法种数为(C)

A.$240$
B.$300$
C.$420$
D.$480$

答案： 解析 按$S→A→B→C→D$的顺序分步着色。
第一步，对点$S$着色，有$5$种方法。
第二步，对点$A$着色，$A$与$S$在同一条棱上，有$4$种方法。
第三步，对点$B$着色，$B$与$S$，$A$分别在同一条棱上，有$3$种方法。
第四步，对点$C$着色，但考虑到点$D$与$S$，$A$，$C$相邻，需要针对$A$与$C$是否同色进行分类。
当$A$与$C$同色时，点$D$有$3$种着色方法；
当$A$与$C$不同色时，因为$C$与$S$，$B$也不同色，所以点$C$有$2$种着色方法，点$D$也有$2$种着色方法。
由分步乘法计数原理和分类加法计数原理得，不同的着色方法共有$5×4×3×(3 + 2×2) = 420$(种)。
答案 C