《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

例15 (2023·新课标Ⅰ卷改编)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.则第2次投篮的人是乙的概率为.

答案： 解析▶记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则$A=BA+\overline{B}A$，
所以$P(A)=P(BA+\overline{B}A)=P(BA)+P(\overline{B}A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6$.
答案▶0.6

例16 (2024·上海)某校举办科学竞技比赛，有A，B，C 3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是.

答案： 解析▶A题库占$\frac{5000}{5000+4000+3000}=\frac{5}{12}$，B题库占$\frac{4000}{5000+4000+3000}=\frac{1}{3}$，C题库占$\frac{3000}{5000+4000+3000}=\frac{1}{4}$，则所求概率$P=\frac{5}{12}×0.92+\frac{1}{3}×0.86+\frac{1}{4}×0.72=0.85$.
答案▶0.85(或$\frac{17}{20}$)

1. [多选题]在一次对高三年级学生两次模拟考试数学成绩的统计调查中发现，两次成绩均得优的学生占5%，仅第一次得优的占7.9%，仅第二次得优的占8.9%.则 (AC)

A.已知某学生第一次得优，则第二次也得优的概率为0.388
B.已知某学生第一次得优，则第二次也得优的概率为0.139
C.某同学两次均未得优的概率为0.782
D.某同学两次均未得优的概率为0.95

答案： 1.AC 设$A$表示“第一次数学成绩得优”，$B$表示“第二次数学成绩得优”，
则$P(AB) = 0.05$，$P(A\overline{B}) = 0.079$，$P(\overline{A}B) = 0.089$，
则$P(A) = P(AB) + P(A\overline{B}) = 0.05 + 0.079 = 0.129$，
$P(B) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0.05 + 0.089 = 0.139$，
$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{0.05}{0.129} \approx 0.388$，
$P(\overline{B}|A) = \frac{P(A\overline{B})}{P(A)} = \frac{0.089}{1 - 0.129} \approx 0.102$，
$P(\overline{A}\overline{B}) = (1 - P(A))(1 - P(B|A)) = (1 - 0.129)(1 - 0.102) \approx 0.782$。
故选AC。

2. [多选题](2025·山东省聊城市期中)甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以$A_{1},A_{2}$和$A_{3}$表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则 (ABD)

A.$P(B|A_{1})=\frac{1}{3}$
B.$P(B)=\frac{17}{63}$
C.$P(A_{1})P(B)=P(A_{1}B)$
D.$P(A_{2}|B)=\frac{4}{17}$

答案： 2.ABD 由题意知$P(A_1) = \frac{3}{7}$，$P(A_2) = \frac{2}{7}$，$P(A_3) = \frac{2}{7}$，
若$A_1$发生，则乙箱中有$3$个红球，$3$个白球和$3$个黑球，
则$P(B|A_1) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$，故A正确；
若$A_2$发生，则乙箱中有$2$个红球，$4$个白球和$3$个黑球，
则$P(B|A_2) = \frac{2}{9}$，
若$A_3$发生，则乙箱中有$2$个红球，$3$个白球和$4$个黑球，
则$P(B|A_3) = \frac{2}{9}$，
$\therefore P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3) · P(B|A_3) = \frac{3}{7} × \frac{1}{3} + \frac{2}{7} × \frac{2}{9} + \frac{2}{7} × \frac{2}{9} = \frac{17}{63}$，故B正确；
$\because P(A_1B) = P(B|A_1)P(A_1) = \frac{1}{3} × \frac{3}{7} = \frac{1}{7}$，
$\therefore P(A_1)P(B) \neq P(A_1B)$，故C错误；
$P(A_2|B) = \frac{P(A_2B)}{P(B)} = \frac{P(B|A_2)P(A_2)}{P(B)} = \frac{\frac{2}{9} × \frac{2}{7}}{\frac{17}{63}} = \frac{4}{17}$，故D正确。