《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

例17 （2023·新课标Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

答案： 解析 方法1 由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有$C_{4}^{1}C_{4}^{1}$种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有$C_{4}^{1}C_{4}^{2}$种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有$C_{4}^{2}C_{4}^{1}$种方案.
综上，不同的选课方案共有$C_{4}^{1}C_{4}^{1}+C_{4}^{1}C_{4}^{2}+C_{4}^{2}C_{4}^{1}=64$（种）.
方法2 若学生从这8门课中选修2门课，则有$C_{8}^{2}-C_{4}^{2}-C_{4}^{2}=16$（种）选课方案；
若学生从这8门课中选修3门课，则有$C_{8}^{3}-C_{4}^{3}-C_{4}^{3}=48$（种）选课方案.
综上，不同的选课方案共有$16+48=64$（种）.
答案 64

例18 (新高考全国Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()

A.120种
B.90种
C.60种
D.30种

答案： 解析 第一步，抽1名志愿者安排到甲场馆，有$C_{6}^{1}$种安排方法；
第二步，从剩下的5名志愿者中抽取2名安排到乙场馆，有$C_{5}^{2}$种安排方法；
第三步，将剩下的3名志愿者安排到丙场馆；
所以共有$C_{6}^{1}C_{5}^{2}=60$(种)不同的安排方法.
答案 C

例19 （2024·上海）设集合$A$中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，则集合中元素个数的最大值为.

答案： 解析 由题意可知集合中最多有一个奇数，（提示：奇数$×$奇数$=$奇数，奇数$×$偶数$=$偶数，偶数$×$偶数$=$偶数）其余均为偶数. 个位为0的无重复数字的三位正整数有$A_{9}^{2}=72$（个）；个位为2，4，6，8的无重复数字的三位正整数有$C_{4}^{1}C_{8}^{1}C_{8}^{1}=256$（个）. 所以集合中最多有$72+256=328$（个）偶数，再加上一个奇数，则集合中元素个数的最大值为$328+1=329$.
答案 329