《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

例7 (1)二项式$(x-\frac {2}{x})^{6}$的展开式的第2项是()
A.$6x^{4}$
B.$-6x^{4}$
C.$12x^{4}$
D.$-12x^{4}$

答案： D

(2)$(4^{x}-2^{-x})^{6}(x∈R)$的展开式中的常数项是()

A.1 -20
B.2 -15
C.3 15
D.4 20

答案： C

(3)$(\sqrt {x}-\sqrt [3]{x})^{6}$的展开式中的有理项的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

1.(2025·广东省佛山市期末)已知$(x^{2}-\frac {i}{\sqrt {x}})^{n}$的展开式中第5项与第7项的系数之和为0,其中i为虚数单位,则展开式中常数项为45.

答案： 1.45 $(x^{2}-\frac{i}{\sqrt{x}})^n$ 的展开式的第 $k + 1$ 项为 $T_{k + 1} = C_{n}^{k}(-1)^{k}x^{2n - \frac{5k}{2}}$，
由题意可得 $C_{n}^{4}(-i)^{4}+C_{n}^{6}(-i)^{6}=0$，则 $n = 10$，
所以第 $k + 1$ 项为 $T_{k + 1} = C_{10}^{k}(-i)^{k}x^{20 - \frac{5k}{2}}$，令 $20-\frac{5k}{2}=0$，则 $k = 8$，
所以展开式中常数项为 $T_{9} = C_{10}^{8}(-i)^{8}=45$。

例8 (1)在$(4x^{2}-\frac {1}{x})^{6}$的展开式中,$x^{-3}$的系数为.(用数字作答)
(2)二项式$(\sqrt [3]{x}-\frac {1}{x})^{n}$的展开式中,所有项的二项式系数之和为4096,则$n=$,展开式中的常数项为.
(3)在二项式$(2\sqrt {x}-\frac {1}{x})^{6}$的展开式中,第6项的二项式系数为,第6项的系数为.

答案： 解析▶
(1)$(4x^{2}-\frac {1}{x})^{6}$的展开式的第$k+1$项为$T_{k+1}=C_{6}^{k}(4x^{2})^{6-k}(-\frac {1}{x})^{k}=C_{6}^{k}4^{6-k}(-1)^{k}x^{12-3k}$,令$12-3k=-3$,得$k=5$,故$x^{-3}$的系数为$C_{6}^{5}4^{6-5}×(-1)^{5}=-24.$
(2)由题意可得$2^{n}=4096$,则$n=12.$通项$T_{k+1}=(-1)^{k}C_{12}^{k}x^{\frac {12-4k}{3}}$,令$\frac {12-4k}{3}=0$,得$k=3$,故常数项为$T_{4}=(-1)^{3}C_{12}^{3}=-220.$
(3)由已知得二项展开式的通项为$T_{k+1}=C_{6}^{k}(2\sqrt {x})^{6-k}· (-\frac {1}{x})^{k}=2^{6-k}C_{6}^{k}· (-1)^{k}· x^{3-\frac {3k}{2}},\therefore T_{6}=-12x^{-\frac {9}{2}}.$$\therefore$第6项的二项式系数为$C_{6}^{5}=6$,第6项的系数为$C_{6}^{5}· (-1)^{5}· 2=-12.$
答案▶
(1)-24
(2)12 -220
(3)6 -12