《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

1. (2025·河北省唐山市期末)在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字3是取出的五个不同数的中位数的所有取法有(D)

A.24种
B.18种
C.12种
D.6种

答案： 1.D 由条件知数字1,2必须取出，有$ C_2^2$种取法；再从4,5,6,7四个数字中随机取出两个不同的数字有$ C_4^2$种取法，故共有$ C_2^2 C_4^2=$6(种)不同的取法.

例10 某校有男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）恰有1名女运动员；
（3）至少有1名女运动员；
（4）队长中至少有1人参加；
（5）既要有队长，又要有女运动员.

答案： 解析 （1）需分两步完成：
第一步 选3名男运动员，有$C_{6}^{3}$种选法；
第二步 选2名女运动员，有$C_{4}^{2}$种选法.
故选法共有$C_{6}^{3}C_{4}^{2}=120$（种）.
（2）需分两步完成：
第一步 选1名女运动员，有$C_{4}^{1}$种选法；
第二步 选4名男运动员，有$C_{6}^{4}$种选法.
故选法共有$C_{4}^{1}C_{6}^{4}=60$（种）.
（3）方法1（直接法） 至少有1名女运动员包括以下四种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.
由分类加法计数原理知，选法共有$C_{4}^{1}C_{6}^{4}+C_{4}^{2}C_{6}^{3}+C_{4}^{3}C_{6}^{2}+C_{4}^{4}C_{6}^{1}=246$（种）.
方法2（间接法） 不考虑条件，从10人中任选5人，有$C_{10}^{5}$种选法，其中全是男运动员的选法有$C_{6}^{5}$种.
故至少有1名女运动员的选法有$C_{10}^{5}-C_{6}^{5}=246$（种）.
（4）方法1（直接法） 需分三类完成 ：
第一类 “只有男队长”的选法为$C_{8}^{4}$种；
第二类 “只有女队长”的选法为$C_{8}^{4}$种；
第三类 “男、女队长都入选”的选法为$C_{8}^{3}$种.
故队长中至少有1人参加的选法共有$2C_{8}^{4}+C_{8}^{3}=196$（种）.
方法2（间接法） 从10人中任选5人，有$C_{10}^{5}$种选法，若队长全都不选，有$C_{8}^{5}$种选法，故队长中至少有1人参加的选法种数为$C_{10}^{5}-C_{8}^{5}=196$.
（5）当有女队长时，其他人的选法任意，共有$C_{9}^{4}$种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有$C_{8}^{4}$种选法，其中不含女运动员的选法有$C_{5}^{4}$种，故不选女队长时共有$(C_{8}^{4}-C_{5}^{4})$种选法.
所以既有队长又有女运动员的选法共有$C_{9}^{4}+C_{8}^{4}-C_{5}^{4}=191$（种）.