《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

例6 （1）已知$\frac{1}{C_{5}^{m}}-\frac{1}{C_{6}^{m}}=\frac{7}{10C_{7}^{m}}$，计算：$C_{8}^{m}+C_{8}^{5-m}$.
（2）计算：$A_{4}^{3}+A_{5}^{3}+A_{6}^{3}+·s +A_{10}^{3}$.

答案： 解析 （1）原等式可化为
$\frac{m!(5-m)!}{5!}-\frac{m!(6-m)!}{6!}=\frac{7× (7-m)!m!}{10× 7!}$，
即$\frac{m!(5-m)!}{5!}-\frac{m!(6-m)(5-m)!}{6× 5!}=\frac{7× m!(7-m)(6-m)(5-m)!}{10× 7× 6× 5!}$，
$\therefore 1-\frac{6-m}{6}=\frac{(7-m)(6-m)}{60}$，
即$m^{2}-23m+42=0$，解得$m=2$或$m=21$.
又$0＜m＜5$，$\therefore m=2$.
故$C_{8}^{m}+C_{8}^{5-m}=C_{8}^{2}+C_{8}^{3}=C_{9}^{3}=84$.
（2）原式$=C_{4}^{3}A_{3}^{3}+C_{5}^{3}A_{3}^{3}+C_{6}^{3}A_{3}^{3}+·s +C_{10}^{3}A_{3}^{3}$
$=(C_{4}^{3}+C_{5}^{3}+C_{6}^{3}+·s +C_{10}^{3})A_{3}^{3}$
$=(C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+C_{5}^{3}+·s +C_{10}^{3}-1)A_{3}^{3}$
$=(C_{11}^{4}-1)× 6$
$=6× (\frac{11× 10× 9× 8}{4× 3× 2× 1}-1)$
$=328$.

例7 证明：$m!+\frac{(m+1)!}{1!}+\frac{(m+2)!}{2!}+·s +\frac{(m+n)!}{n!}=m!C_{m+n+1}^{n}$.

答案： 解析 左边$=m!\left[1+\frac{(m+1)!}{1!m!}+\frac{(m+2)!}{2!m!}+·s +\frac{(m+n)!}{n!m!}\right]$
$=m!(1+C_{m+1}^{1}+C_{m+2}^{2}+·s +C_{m+n}^{n})$
$=m!(C_{m+1}^{0}+C_{m+1}^{1}+C_{m+2}^{2}+·s +C_{m+n}^{n})$（利用$C_{m+1}^{0}=1$，把1转化为$C_{m+1}^{0}$，为下一步使用组合数的性质“$C_{n}^{m+1}+C_{n}^{m}=C_{n+1}^{m+1}$”做准备）
$=m!(C_{m+2}^{1}+C_{m+2}^{2}+·s +C_{m+n}^{n})$
$=·s$
$=m!C_{m+n+1}^{n}$（连续使用组合数的性质“$C_{n}^{m+1}+C_{n}^{m}=C_{n+1}^{m+1}$”，从而把多个组合数的和化简为一个组合数）
$=$右边，
故等式成立.

例8 解下列方程：
（1）$A_{n}^{2}=C_{n}^{n-3}$；（2）$C_{x+2}^{x-2}+C_{x+2}^{x-3}=\frac{1}{10}A_{x+3}^{3}$.

答案： 解析 （1）由$A_{n}^{2}=C_{n}^{n-3}$可知$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n!}{(n-3)! × 3!}$，即$n-2=3!=6$，故$n=8$.
（2）原方程可化为$C_{x+3}^{x-2}=\frac{1}{10}A_{x+3}^{3}$，
即$C_{x+3}^{5}=\frac{1}{10}A_{x+3}^{3}$，
$\therefore \frac{(x+3)!}{5!(x-2)!}=\frac{(x+3)!}{10· x!}$，
$\therefore \frac{1}{120(x-2)!}=\frac{1}{10· x(x-1)· (x-2)!}$，
$\therefore x^{2}-x-12=0$，解得$x=4$或$x=-3$.
经检验，$x=4$是原方程的解.
故原方程的解为$x=4$.

例9 （1）某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券，则此人有种不同的投资方式.

答案： （1）17325

（2）（2025·吉林省长春市期末）现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，另5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为.

答案： （2）26