《2025年教材帮高中数学选择性必修第三册人教B版》

例 13(2024·新课标Ⅱ卷)在如图 3.1.1 - 12 的$4×4$的方格表中选$4$个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有24种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的$4$个数之和的最大值是112。

答案： 解析 第一步，从第一行任选一个数，共有$4$种不同的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有$3$种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数，共有$2$种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有$1$种选法。
由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为$4×3×2×1 = 24$。
先按列分析，每列必选出一个数，故所选$4$个数的十位上的数字分别为$1$，$2$，$3$，$4$。再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为$1$，$3$，$3$，$5$，故从第一行选$21$，从第二行选$33$，从第三行选$43$，从第$4$行选$15$，此时个位上的数字之和最大。故选中方格中的$4$个数之和的最大值为$21 + 33 + 43 + 15 = 112$。
答案 $24$ $112$

1. [多选题](2025·河南省漯河市月考)设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有$2$，$3$，$3$，$4$条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是(ABD)

A.从东面上山有$20$种走法
B.从西面上山有$27$种走法
C.从南面上山有$30$种走法
D.从北面上山有$32$种走法

答案： 1.ABD 根据题意，依次分析选项：
对于A,若从东面上山，上山的路有2条，下山的路有3+3+4=10(条)，则共有2×10=20(条)，A正确;
对于B,若从西面上山，上山的路有3条，下山的路有2+3+4=9(条)，则共有3×9=27(条)，B正确;
对于C,若从南面上山，上山的路有3条，下山的路有2+3+4=9(条)，则共有3×9=27(条)，C错误;
对于D,若从北面上山，上山的路有4条，下山的路有2+3+3=8(条)，则共有4×8=32(条)，D正确.
故选ABD.

2. [多选题](2025·山东省枣庄市第三中学质检)现安排$A$，$B$，$C$三人到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每人只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是(ABD)

A.共有$4^{3}$种不同的安排方法
B.若甲工厂必须有人去，则不同的安排方法有$37$种
C.若$A$必须去甲工厂，则不同的安排方法有$12$种
D.若三人所选工厂各不相同，则不同的安排方法有$24$种

答案： 2.ABD 对于A,A,B,C三人，每人有4种选法，则三人有$4×4×4=4^{3}$种选法，故A正确;
对于B,到4个工厂有$4^{3}=64($种)情况，其中甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有$3^{3}=27($种)，则甲工厂必须有人去的安排方法有64-27=37(种)，故B正确;
对于C,若A必须去甲工厂，剩下2人安排到4个工厂即可，有$4^{2}=16($种)安排方法，故C错误;
对于D,若三人所选工厂各不相同，有4×3×2=24(种)安排方法，故D正确.